"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень степени n — число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное число. Корни помогают записывать решения уравнений и упрощать выражения. Главные правила зависят от чётности показателя: корень нечётной степени существует для любого действительного числа, а для чётной степени подкоренное число должно быть неотрицательным. При преобразованиях также важно следить за модулем и знаменателем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — это число x, для которого xⁿ = a. При нечётном n такой действительный корень есть для любого a, а при чётном — только для a ≥ 0. Это определение связывает извлечение корня с решением уравнения и помогает проверять результат возведением в степень.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Для чётного n его записывают как √[n]{a}; например, √[4]{81} = 3. Такое обозначение выбирает одно значение, даже если у соответствующего уравнения есть два решения.
Показатель корня n — натуральное число, которое показывает, в какую степень надо возвести результат, чтобы получить подкоренное число. При n = 2 показатель обычно не пишут: √a означает квадратный корень из a. Показатель нужен, чтобы различать корни разных степеней и выбирать подходящие правила.
Подкоренное выражение a — число или выражение, стоящее под знаком корня. Для корня чётной степени оно должно быть неотрицательным, если рассматриваются действительные числа. Проверка этого условия показывает, определено ли выражение и при каких значениях переменных его можно преобразовывать.
Рассмотрим уравнение xⁿ = a. При нечётном n возведение в степень сохраняет порядок чисел: каждому действительному a соответствует ровно одно x, в том числе для отрицательного a. При чётном n степень любого числа неотрицательна, поэтому при a < 0 решений нет, а при a > 0 подходят два числа с противоположными знаками. Арифметическим корнем называют положительное из них, чтобы знак корня задавал единственный результат.
Для неотрицательных множителей a и b число √[n]{a} · √[n]{b} при возведении в степень n даёт ab. Оно неотрицательно, поэтому совпадает с арифметическим корнем из ab, и получается формула √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}. Для нечётного n доказательство такое же по возведению в степень, но знак результата не ограничивает область: корни существуют и для отрицательных множителей. Поэтому при нечётной степени правило применимо к любым действительным a и b.
Для частного проверим число √[n]{a}/√[n]{b}: его n-я степень равна a/b. Делить можно только при b ≠ 0, иначе исходное выражение не имеет смысла. При чётном n подкоренные числа должны быть неотрицательны, а знаменатель √[n]{b} — ненулевым, то есть b > 0; для нечётного n достаточно b ≠ 0.
Если возвести √[n]{a} в степень n, мы вернёмся к a. В обратном направлении получаем √[n]{aⁿ}: при нечётном n результат равен a, потому что знак числа сохраняется. При чётном n результат равен |a|: арифметический корень неотрицателен, поэтому отрицательное a не может остаться ответом без изменения знака.
Корень из корня можно объединить: √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a}, если корни определены. Действительно, возведение результата в степень mn сначала устраняет внешний корень, а затем внутренний, возвращая a. Такая запись удобна при преобразовании радикалов: например, √[3]{√[2]{a}} = √[6]{a} при a ≥ 0.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Корень из произведения | √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b} | При чётном n: a ≥ 0, b ≥ 0; при нечётном n: любые a, b. |
| Корень из частного | √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b} | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0, b > 0. |
| Корень из степени | √[n]{aⁿ} = a при нечётном n; |a| при чётном n | a — действительное число. |
| Корень из корня | √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a} | Все корни должны быть определены. |
| Возведение корня в степень | (√[n]{a})ⁿ = a | a допустимо для корня; при чётном n: a ≥ 0. |
Перед применением формулы проверь показатель корня и допустимость подкоренных выражений. Для частного отдельно проверь, что знаменатель не равен нулю. Таблица помогает выбрать правило, но условия являются частью формулы.
Сначала определим, какое число после возведения в указанную степень даёт подкоренное. В первом случае показатель нечётный, поэтому отрицательный результат возможен; во втором берём арифметический корень, то есть неотрицательное значение.
Ответ: −6 и 3. Проверка возведением в соответствующую степень подтверждает оба значения.
Здесь удобно отделить числовой множитель от степени переменной. Выражение под корнем неотрицательно при любом действительном x, поэтому корень определён для всех заданных значений. Следим за чётностью показателя: именно она определяет, нужен ли модуль.
Ответ: 2|x|. Модуль необходим и при отрицательном x: значение арифметического корня не может быть отрицательным.
Условие x > 2 означает, что x − 2 положительно. Благодаря этому при упрощении корня чётной степени модуль можно заменить самим выражением x − 2. Обозначим его временно через t, где t > 0, и преобразуем каждый множитель.
Ответ: (x − 2)³. Условие x > 2 использовано при снятии модуля; без него второй множитель был бы |x − 2|.
Ошибка: записывать √[n]{aⁿ} = a при любом n. Так делают, перенося привычное правило для нечётной степени на чётную, но арифметический корень неотрицателен. При чётном n верно √[n]{aⁿ} = |a|; проверь результат на отрицательном a.
Ошибка: извлекать в действительных числах корень чётной степени из отрицательного числа. Уравнение xⁿ = a при чётном n не может иметь отрицательную правую часть, потому что xⁿ ≥ 0. Перед вычислением сравни знак подкоренного числа с нулём.
Ошибка: применять правило произведения для чётных корней, не проверяя знаки множителей. Если множитель отрицателен, отдельный арифметический корень из него не определён, даже когда произведение неотрицательно. Проверь каждый множитель отдельно; для нечётной степени таких ограничений по знаку нет.
Ошибка: сокращать корни в частном, забывая об условиях. При знаменателе, равном нулю, дробь не существует, а корень чётной степени требует допустимых подкоренных выражений. Перед преобразованием проверь знаменатель и область определения обоих корней.
Для работы с корнями нужны свойства степеней с натуральным показателем и понимание чётности чисел: без них нельзя обосновать формулы и различить случаи для n. Свойства корней применяются при упрощении выражений, преобразовании радикалов и решении уравнений. Далее эти правила помогают изучать степени с рациональными показателями и функции вида y = xʳ, где поведение зависит от значения показателя и области определения.
Почему корень чётной степени из числа имеет только одно значение, хотя уравнение x^n = a может иметь два корня?
Уравнение xⁿ = a при a > 0 действительно имеет два решения: положительное и отрицательное. Но арифметическим корнем называют только неотрицательное решение, поэтому знак √[n]{a} обозначает одно число.
Почему при извлечении корня чётной степени из a^n появляется модуль?
Арифметический корень чётной степени не может быть отрицательным. Поэтому при a < 0 значение корня из aⁿ равно −a, а при a ≥ 0 — a; это и записывают как |a|.
Можно ли извлекать корень нечётной степени из отрицательного числа?
Да. Например, ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. При нечётной степени отрицательное число сохраняет знак.
При каких условиях корень из произведения равен произведению корней?
Для корней чётной степени оба множителя должны быть неотрицательны. Для корней нечётной степени множители могут быть любыми действительными числами.
Можно ли перемножать или делить корни с разными показателями?
Напрямую свойства корня из произведения или частного к корням с разными показателями не применяют. Сначала можно привести их к общему показателю, проверив, что все выражения определены, а при делении знаменатель не равен нулю.
3.6. Свойства корней степени n
