3.7. Функция у = nVх (х > 0)

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа x — неотрицательное число, n-я степень которого равна x; в этой теме рассматривается x > 0. Например, ³√8 = 2, потому что 2³ = 8. Такое определение помогает перевести задачу о корне в понятное условие о степени и найти число, которое подходит под него.

Функция корня n-й степени — функция y = ⁿ√x, заданная при x > 0 и натуральном n ≥ 2. Здесь n задаёт показатель степени, а x является аргументом — числом, которое подставляют в функцию. Эта запись позволяет рассматривать извлечение корня не как отдельное вычисление, а как правило, связывающее каждое положительное x со значением y.

Взаимно обратные функции — функции, у которых аргумент и значение меняются местами. На положительных числах y = ⁿ√x обратна функции y = xⁿ: если одна функция переводит число t в tⁿ, другая возвращает из tⁿ число t. Это понятие нужно, чтобы понимать связь формул и графиков этих функций.

Как это устроено

Почему у положительного x есть единственный корень? Если положительное число возвести в натуральную степень n, результат положителен, а при увеличении основания результат тоже увеличивается. Поэтому для данного положительного x подходит ровно одно положительное основание. Его и обозначают ⁿ√x; отрицательное число не берут, поскольку по определению корень рассматривается как неотрицательное число.

Из записи y = ⁿ√x следует, что y — число, n-я степень которого равна x, то есть yⁿ = x. Обратный переход тоже верен, если y положительно: такое y является именно корнем n-й степени из x. Поэтому для вычисления ⁴√16 ищем положительное число, четвёртая степень которого равна 16, и получаем 2. Условие о положительности важно: оно указывает, какое значение корня рассматривается.

Функция возрастает, потому что степени положительных чисел сохраняют их порядок. Если x₁ < x₂, то и положительное число, возведённое в n-ю степень для получения x₁, меньше числа, которое даёт x₂. Иначе при большем основании его n-я степень не могла бы оказаться больше. Значит, из x₁ < x₂ следует ⁿ√x₁ < ⁿ√x₂.

Для взаимно обратных функций значение первой становится аргументом второй, и наоборот. Если точка (a; b) лежит на графике y = xⁿ, то b = aⁿ, а значит, a = ⁿ√b; поэтому точка (b; a) лежит на графике y = ⁿ√x. Перестановка координат отражает точку относительно прямой y = x, следовательно, графики симметричны относительно этой прямой. На положительной части они пересекаются там, где xⁿ = x, то есть в точке (1; 1).

Степенная запись ⁿ√x = x^(1/n) связывает корень со степенями, показатель которых является дробью. Показатель 1/n означает, что число x возводят в степень, обратную возведению в n-ю степень: для положительных x результат удовлетворяет равенству (x^(1/n))ⁿ = x. Например, ⁴√16 = 16^(1/4) = 2. Такая запись позволяет применять правила степеней при преобразовании выражений с корнями.

Основные свойства функции y = ⁿ√x при натуральном n ≥ 2

Таблица помогает быстро проверить, какие значения можно подставлять и какими могут быть результаты. Для сравнения корней одной степени используй строку о возрастании: большему положительному подкоренному числу соответствует больший корень. Строка об обратной функции пригодится, когда нужно перейти от корня к степени или разобраться в графиках.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить ⁴√16 и ³√27. Здесь не требуется делить подкоренное число на показатель корня: нужно подобрать положительное число, которое при возведении в указанную степень даст заданный результат.

1. Для ⁴√16 ищем число, четвёртая степень которого равна 16. Так как 2⁴ = 16, получаем ⁴√16 = 2.
2. Для ³√27 ищем число, куб которого равен 27. Так как 3³ = 27, получаем ³√27 = 3.

Ответ: 2 и 3.

Задача 2. Решить уравнение ⁵√x = 2. Левая часть определена при x > 0, поэтому нужно получить значение x и проверить, что оно положительно. Так мы не потеряем условие, при котором рассматривается функция.

1. Возводим обе части равенства в пятую степень: (⁵√x)⁵ = 2⁵. По определению корня левая часть равна x, значит, x = 32.
2. Проверяем допустимость найденного значения: 32 > 0, поэтому оно входит в область определения. Подстановка подтверждает равенство: ⁵√32 = 2.

Ответ: x = 32.

Задача 3. Сравнить ⁴√5 и ⁴√7 без десятичных приближений. Оба числа являются значениями одной функции y = ⁴√x. Сравним аргументы: 5 < 7, а функция корня четвёртой степени возрастает на положительных числах.

1. Применяем свойство возрастающей функции: при меньшем аргументе значение функции тоже меньше.
2. Следовательно, ⁴√5 < ⁴√7. Приближённо находить сами корни для этого вывода не требуется.

Ответ: ⁴√5 < ⁴√7.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при x > 0 значение корня может быть отрицательным. Её допускают, когда вспоминают, что одинаковую чётную степень могут иметь два числа, но корень по определению выбирают неотрицательным. Проверь себя: возведи предполагаемое значение в n-ю степень и отдельно сверь его знак с определением корня.

Ошибка — путать корень n-й степени с делением на n. Возможно, к этому подталкивает запись с маленьким n рядом со знаком корня, но правильная степенная запись — ⁿ√x = x^(1/n), а не x/n. Проверь ответ возведением в n-ю степень: только верный корень даст исходное x.

Ошибка — подставлять в функцию числа, не входящие в область определения. Это происходит, если смотреть только на формулу и забывать условие x > 0. Перед вычислением выпиши допустимые значения аргумента, а после решения уравнения проверь знак найденного x.

Ошибка — возводить обе части уравнения в степень и не проверять преобразование. Такое действие может изменить множество решений или дать недопустимое значение, если не учесть условия задачи. После возведения проверь область определения и подстановкой убедись, что каждый найденный корень удовлетворяет исходному уравнению.

Связь с другими темами

Для работы с функцией нужны определение корня n-й степени, свойства степеней и умение читать координатную плоскость. Связь с взаимно обратными функциями объясняет, почему графики y = ⁿ√x и y = xⁿ отражаются относительно y = x. Запись ⁿ√x = x^(1/n) соединяет тему со степенями с рациональным показателем. Эти идеи пригодятся при изучении степенных функций, преобразовании выражений и решении уравнений.

Что запомнить

• В теме рассматривается функция y = ⁿ√x при x > 0 и натуральном n ≥ 2.
• Для каждого x > 0 значение ⁿ√x положительно и единственно.
• Равенство y = ⁿ√x равносильно равенству yⁿ = x при y > 0.
• Функция y = ⁿ√x возрастает на положительной полуоси.
• Множество значений функции — положительные числа.
• Функции y = ⁿ√x и y = xⁿ взаимно обратны на положительных числах.
• Корень n-й степени можно записать как степень с показателем 1/n.