3.8. Функция у = nVx

Определения и обозначения

Корнем n-й степени из числа a называют число b, для которого bⁿ = a. Если n чётное, в действительных числах такой корень существует только при a ≥ 0, и принято брать неотрицательное значение b. Если n нечётное, корень существует при любом a и имеет тот же знак, что и a. Это определение позволяет проверять корни возведением в степень и сразу учитывать, допустим ли ответ.

Функция y = ⁿ√x каждому допустимому значению x ставит в соответствие его корень n-й степени. Например, при x = 16 и n = 4 получаем y = 2, поскольку 2⁴ = 16. Запись под корнем задаёт входное значение функции, а показатель n указывает, какую степень нужно обратить. Такое обозначение удобно, когда нужно найти значение функции или решить уравнение вида yⁿ = x.

Область определения функции — это все значения x, для которых выражение имеет смысл в действительных числах. При чётном n требуется x ≥ 0, потому что ни одно действительное число в чётной степени не даёт отрицательного результата. При нечётном n под корнем может стоять любое действительное число. Это условие проверяют прежде, чем подставлять значения в формулу или строить график.

Множество значений — все результаты, которые может принимать y. При чётном n значения корня неотрицательны, поэтому множество значений также равно [0; +∞). При нечётном n корень может быть как положительным, так и отрицательным, и множество значений — все действительные числа. Различие связано с тем, какие значения может принимать число b в равенстве bⁿ = x.

Как это устроено

Из определения следует, что возведение корня в степень n возвращает исходное число: (ⁿ√x)ⁿ = x для всех допустимых x. В обратном направлении есть тонкость: ⁿ√(xⁿ) = x для нечётного n, но при чётном n получается |x|, поскольку корень чётной степени выбирают неотрицательным. Поэтому функция корня действительно обратна функции y = xⁿ, если при чётном n ограничить степенную функцию условием x ≥ 0. Без этого ограничения разные значения x и −x дали бы одно и то же xⁿ.

Чётность показателя определяет, какие результаты могут появиться при возведении в степень. При чётном n каждое действительное b даёт bⁿ ≥ 0, так что уравнение bⁿ = x невозможно при x < 0. При нечётном n отрицательное b остаётся отрицательным после возведения в степень, а положительное — положительным, поэтому каждому действительному x соответствует корень. Так одновременно объясняются область определения функции корня и её множество значений.

Функция корня возрастает: если x₁ < x₂, то ⁿ√x₁ < ⁿ√x₂. Иначе два корня нарушали бы порядок после возведения в степень, ведь функция y = xⁿ возрастает на всей числовой прямой при нечётном n и на промежутке [0; +∞) при чётном n. Значит, обратная функция сохраняет порядок соответствующих значений. Это свойство помогает сравнивать корни без приближённых вычислений.

Графики взаимно обратных функций получают отражением относительно прямой y = x. Причина в том, что точка (a; b) на графике y = xⁿ после обмена координатами превращается в точку (b; a), подходящую для графика y = ⁿ√x. При чётном n для такого отражения берут участок степенной функции при x ≥ 0, иначе обратной функции не получится. При нечётном n степенная функция возрастает на всей прямой, поэтому отражают весь её график.

График любой функции корня проходит через точки (0; 0) и (1; 1), потому что корни из 0 и 1 равны самим числам. При нечётном n есть также точка (−1; −1), так как (−1)ⁿ = −1. График корня чётной степени существует только справа от оси y и не опускается ниже оси x; график нечётного корня проходит через начало координат и продолжается в обе стороны. Для квадратного и кубического корней эти различия особенно удобно увидеть при сравнении графиков.

Свойства функции y = ⁿ√x

Сначала выберите столбец по чётности показателя n, а затем проверяйте по нему область определения и возможные значения функции. Эти свойства помогают отсеять недопустимые ответы и понять, в какой части координатной плоскости строить график. Для нечётного n симметрия относительно начала координат следует из нечётности функции.

Разбор задач

Задача 1. Укажите область определения и множество значений функции y = ⁴√x. Показатель 4 чётный, поэтому отрицательные значения под корнем недопустимы. Кроме того, результат корня чётной степени не бывает отрицательным. Получаем область определения x ≥ 0 и множество значений y ≥ 0.

1. Записываем условие существования корня четвёртой степени: x ≥ 0.
2. Поскольку четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна и корень выбирается неотрицательным, y ≥ 0.
3. Записываем оба множества в интервальной форме: [0; +∞).

Ответ: область определения [0; +∞), множество значений [0; +∞).

Задача 2. Вычислите ⁵√(−32) и ⁴√81. Здесь важно не угадывать знак по виду числа, а найти число, нужная степень которого равна подкоренному выражению. Для первого корня показатель нечётный, а для второго — чётный; значит, во втором случае проверяем также неотрицательность результата. Проверка возведением в степень подтверждает оба ответа.

1. Для ⁵√(−32) ищем число, пятая степень которого равна −32. Так как (−2)⁵ = −32, получаем ⁵√(−32) = −2.
2. Для ⁴√81 ищем неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81. Поскольку 3⁴ = 81, получаем ⁴√81 = 3.
3. Проверяем допустимость: отрицательное подкоренное выражение разрешено при нечётном показателе, а корень чётной степени выбран неотрицательным.

Ответ: −2 и 3.

Задача 3. Постройте график y = ∛x, используя график y = x³, и укажите их взаимное расположение. Кубическая функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому у неё есть обратная функция. Чтобы получить её график, каждой точке степенной кривой нужно сопоставить точку с переставленными координатами. Это и есть отражение относительно прямой y = x.

1. На графике y = x³ отметьте точки (−1; −1), (0; 0) и (1; 1).
2. Отразите график относительно y = x, меняя местами координаты точек. Названные три точки при отражении остаются на месте, а остальные переходят в точки графика корня.
3. Проведите плавную возрастающую кривую через полученные точки. Она продолжается при всех x, поскольку кубический корень определён для любого действительного числа.

Ответ: график y = ∛x симметричен графику y = x³ относительно прямой y = x; обе кривые проходят через (−1; −1), (0; 0) и (1; 1).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что корень чётной степени существует при отрицательном подкоренном выражении. Обычно правило для нечётного корня ошибочно переносят на все корни. Проверка простая: спросите, может ли действительное число в чётной степени дать отрицательный результат; если нет, значение под корнем должно быть неотрицательным.

Ошибка: ограничивать область определения корня нечётной степени условием x ≥ 0. Такое ограничение появляется из-за привычки работать с квадратными корнями, но нечётная степень сохраняет знак числа. Проверьте пример ∛(−8) = −2: отрицательный аргумент допустим, поэтому для нечётного показателя область определения — вся числовая прямая.

Ошибка: записывать √(a²) = a для любого a. Так забывают, что квадратный корень по определению неотрицателен, тогда как a может быть отрицательным. Для проверки возьмите a = −3: √((−3)²) = 3, значит, правильная запись — √(a²) = |a|.

Ошибка: считать графики y = xⁿ и y = ⁿ√x взаимно обратными без ограничения области степенной функции при чётном n. На всей числовой прямой чётная степень не является взаимно однозначной: x и −x дают одинаковую степень. Перед отражением графика проверьте, что выбранный участок функции возрастает и каждому значению соответствует только один аргумент.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно знать степени с натуральным показателем, их свойства и графики функций y = xⁿ. Именно поведение степенной функции объясняет область определения и монотонность обратной ей функции корня. Корни помогают решать уравнения вида xⁿ = a: нужно определить, существует ли действительный корень и сколько решений допустимо. Отражение относительно y = x связывает тему с обратными функциями и пригодится при построении графиков более сложных выражений, содержащих корень.

Что запомнить

• При чётном n корень n-й степени в действительных числах определён только при x ≥ 0.
• При нечётном n корень n-й степени определён при любом действительном x.
• Значения корня чётной степени неотрицательны.
• Функция y = ⁿ√x возрастает на своей области определения.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
• √(a²) = |a|.