"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень степени n из числа a — это число, которое при возведении в степень n даёт a. Такая запись помогает находить неизвестный множитель в повторном умножении: например, √[3]{125} = 5, потому что 5³ = 125. Если подкоренное число не является точной степенью, корень можно расположить между соседними натуральными числами. Для вычислений полезно знать таблицу степеней и уметь раскладывать число на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень степени n из числа a — это число b, для которого bⁿ = a; его записывают как √[n]{a} = b. Например, √[3]{125} = 5, потому что 5³ = 125. Значит, извлечь корень — это найти число, которое при возведении в указанную степень даст исходное. Такое определение позволяет проверять результат обратным действием.
Число n в записи √[n]{a} называют показателем корня. Оно показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное число: для √[4]{16} нужно найти число, четвёртая степень которого равна 16. Показатель помогает отличить, например, квадратный корень от корня четвёртой степени. Без него запись не указывает, какую именно степень надо проверить.
Число a под знаком корня называют подкоренным числом. Именно его значение должно получиться после возведения результата в степень n, поэтому в записи √[n]{a} оно играет роль результата обратного поиска. Например, в √[3]{64} подкоренное число равно 64, а нужно найти число, куб которого равен 64. Для корней с чётным показателем рассматривают неотрицательное подкоренное число.
Полная n-я степень натурального числа — число, которое можно представить как kⁿ, где k — натуральное число. Например, 81 — полная четвёртая степень, потому что 81 = 3⁴. Это понятие помогает понять, когда корень можно найти точно как натуральное число: √[4]{81} = 3. Если число так представить нельзя, корень обычно не будет натуральным.
Возведение в степень n умножает число само на себя n раз, а извлечение корня отвечает на обратный вопрос: какое число было возведено в эту степень? Поэтому проверка корня всегда сводится к возведению найденного значения в степень. Например, для √[3]{125} проверяют, даёт ли куб выбранного числа 125. Эта связь позволяет не угадывать ответ, а обосновывать его вычислением.
Когда подкоренное число является полной n-й степенью, его можно записать как kⁿ. Тогда по определению корня результатом будет k, с учётом правила о знаке для чётного показателя. Так, 4³ = 64, значит, √[3]{64} = 4. Возведение найденного значения обратно в степень подтверждает ответ и помогает обнаружить арифметическую ошибку.
Если точной n-й степени среди натуральных чисел нет, корень всё равно можно оценить. Для этого находят две соседние натуральные степени, между которыми лежит подкоренное число: если mⁿ < a < (m + 1)ⁿ, то m < √[n]{a} < m + 1. Причина в том, что при неотрицательных числах возрастание основания приводит к возрастанию его степени. Такая оценка задаёт границы, даже если точное значение корня не записывается натуральным числом.
При чётном n результат возведения действительного числа в степень неотрицателен: отрицательное число тоже даёт положительную чётную степень. Поэтому извлечь корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах нельзя, а из положительного числа выбирают неотрицательное значение. При нечётном n отрицательное основание остаётся отрицательным после возведения в степень. По этой причине корень нечётной степени существует и имеет тот же знак, что и подкоренное число.
Разложение подкоренного числа на множители помогает увидеть, какие множители образуют полную n-ю степень. Если в произведении есть множитель kⁿ, то его корень равен k и его можно вынести из-под знака корня. Например, в разложении 432 = 2⁴ · 3³ можно выделить 2³ · 3³ = 6³, поэтому √[3]{432} = 6√[3]{2}. Оставшийся множитель 2 не является кубом, так что он остаётся под знаком корня.
| Случай | Что означает корень | Ограничение на подкоренное число | Знак корня |
|---|---|---|---|
| n чётное | Число, чётная степень которого равна подкоренному числу | Подкоренное число неотрицательно | Неотрицательный |
| n нечётное | Число, нечётная степень которого равна подкоренному числу | Для натурального подкоренного числа ограничений по знаку нет | Совпадает со знаком подкоренного числа |
| Подкоренное число — полная n-я степень | Корень находится точно: если a = kⁿ, то √[n]{a} = k | Для чётного n число a должно быть неотрицательным | При чётном n берут k ≥ 0; при нечётном знак соответствует a |
| Подкоренное число не является полной n-й степенью | Корень не выражается натуральным числом; его можно оценить | При чётном n число a должно быть неотрицательным | При чётном n корень неотрицателен; при нечётном знак соответствует a |
Сначала определите, чётный показатель корня или нечётный: от этого зависит допустимый знак подкоренного числа и самого корня. Затем проверьте, является ли подкоренное число полной n-й степенью. Если точного значения нет, сравните его с соседними степенями и получите границы корня.
Нужно найти натуральное число, куб которого равен 125. Удобно начать с разложения 125 или вспомнить кубы небольших чисел, а затем обязательно проверить найденное значение. Такой способ показывает, почему результат подходит, а не только называет его.
Ответ: 5.
Число 50 не является очевидной четвёртой степенью, поэтому вместо поиска точного значения сравним его с четвёртыми степенями натуральных чисел. Нужно подобрать такие соседние основания, чтобы их степени оказались по разные стороны от 50. Тогда и корень окажется между этими основаниями.
Ответ: √[4]{50} находится между 2 и 3.
При нечётном показателе удобно искать в разложении группы одинаковых множителей по три: каждая такая группа составляет полный куб. Сначала разложим число на простые множители, затем выделим полный куб и оставим неполную часть под знаком корня. После упрощения результат можно проверить возведением вынесенного множителя в куб.
Ответ: 6√[3]{2}.
Путать показатель корня с показателем степени. Ошибка возникает, когда число n в записи √[n]{a} воспринимают как значение самого корня. Но n показывает, какую степень должен иметь результат: например, в √[3]{125} ищут число, возведённое в куб. Проверка проста: возведите найденный ответ именно в степень n и сравните с подкоренным числом.
Считать, что корень всегда натуральный. Корень может не быть натуральным числом, если подкоренное число не является полной n-й степенью. Это заблуждение часто появляется из-за примеров с точными квадратами и кубами. Проверьте, существует ли натуральное k, для которого kⁿ = a; если нет, оцените корень между соседними натуральными числами.
Учитывать отрицательное значение как корень при чётном показателе. Иногда забывают, что отрицательное число в чётной степени даёт положительное значение, и записывают отрицательный корень из натурального числа. По принятому определению корень чётной степени берут неотрицательным. Для самопроверки возведите предполагаемый ответ в степень: отрицательный результат при чётной степени невозможен.
Выносить множители, не проверив, образуют ли они полную n-ю степень. При разложении на множители можно ошибочно вынести один множитель или группу, которая не даёт степени n. Причина — в невнимательном подсчёте одинаковых простых множителей. Сгруппируйте их по n штук и проверьте вынесенную часть возведением в степень n.
Для работы с корнями понадобятся натуральные числа, степени с натуральным показателем и таблица основных степеней: с их помощью проверяют точные значения и находят границы корней. Разложение числа на множители позволяет упрощать корневые выражения. Тема пригодится при изучении действительных чисел, преобразовании выражений с корнями и решении уравнений вида xⁿ = a. В таком уравнении корень помогает найти неизвестное основание степени, а чётность n определяет, какие решения возможны.
Что означает запись √[n]{a}?
Это число, n-я степень которого равна a: если √[n]{a} = b, то bⁿ = a. Число n называют показателем корня, а a — подкоренным числом.
Как проверить, правильно ли найден корень?
Возведите полученный результат в степень, указанную показателем корня. Если вышло подкоренное число, значение найдено верно.
Почему корень с чётным показателем не может быть отрицательным?
Чётная степень отрицательного числа положительна, как и чётная степень положительного. Поэтому для неотрицательного подкоренного числа корнем считают неотрицательное значение.
Как понять, что корень из натурального числа будет натуральным?
Число должно быть полной n-й степенью, то есть представляться в виде kⁿ для натурального k. Например, 125 = 5³, поэтому √[3]{125} — натуральное число.
Как оценить корень, если он не извлекается точно?
Найдите две соседние натуральные степени, между которыми лежит подкоренное число. Тогда корень находится между основаниями этих степеней: например, если 2⁴ < 50 < 3⁴, то 2 < √[4]{50} < 3.
3.9. Корень степени n из натурального числа
