§ 4. Степень положительного числа

Определения и обозначения

При целом показателе степень понимают так: aⁿ — произведение n множителей a при n > 0, a⁰ = 1, а a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Основание a здесь положительно, поэтому деление на aⁿ всегда возможно. Такое определение сохраняет привычные правила и для отрицательных показателей.

Если показатель равен дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное, то aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ при a > 0. Иными словами, знаменатель показывает, корень какой степени нужно извлечь, а числитель — в какую степень возвести результат. Это связывает дробные степени с уже известными арифметическими корнями.

Иррациональный показатель нельзя записать конечной или периодической дробью. Его приближают рациональными числами r₁, r₂, …, и степенями aʳ¹, aʳ², …, которые приближаются к одному числу. Предел этой последовательности принимают за aˣ, если x — иррациональное число.

Действительным показателем называют любое рациональное или иррациональное число x. При положительном основании a степень aˣ определена для каждого действительного x. Поэтому целые и дробные степени становятся частными случаями единого понятия.

Как это устроено

Расширение степени начинают с целых показателей, а затем переходят к дробным. Нужно сохранить правило (aᵖ)ᑫ = aᵖᑫ: если показатель равен 1/n, то число, возведённое в эту степень, должно стать корнем n-й степени из a. Поэтому a¹⁄ⁿ = ⁿ√a, а aᵐ⁄ⁿ = (ⁿ√a)ᵐ.

Обратное число появляется из требования сохранить правило aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. При y = −x произведение должно иметь показатель 0 и равняться 1, значит, aˣ · a⁻ˣ = 1. Отсюда a⁻ˣ = 1/aˣ: знак минус у показателя не делает результат отрицательным, а означает переход к обратной степени.

Для иррационального x выбирают рациональные числа, всё ближе приближающиеся к x. Каждому приближению соответствует уже определённая степень, а получающаяся последовательность имеет предел. Именно этот предел объявляют значением aˣ, потому что при всё более точном приближении показателя значения степеней также стабилизируются.

Определение не зависит от того, какую последовательность рациональных приближений выбрали: все такие последовательности стремятся к одному показателю и дают один предел. Поэтому новая степень согласуется с прежними определениями для целых и рациональных чисел. Из свойств предела следуют общие правила действий, так что для любых действительных x и y при a > 0 верно aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ и (aˣ)ʸ = aˣʸ.

Определение и правила действий со степенями положительного числа

Сначала определите, к какому случаю относится выражение, а затем проверьте условия применимости формулы. В дробной степени знаменатель показателя связан с корнем, а при действиях с одинаковым основанием меняются именно показатели. Таблица одинаково полезна для целых, рациональных и иррациональных показателей, если основание положительно.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 16³⁄⁴.

Показатель 3/4 рациональный, поэтому используем корень четвёртой степени. Удобнее сначала извлечь корень, а затем выполнить возведение в третью степень. Число 16 положительно, значит, определение применимо.

1. Представляем выражение по определению: 16³⁄⁴ = (⁴√16)³.
2. Находим корень: ⁴√16 = 2, поскольку 2⁴ = 16.
3. Возводим результат в третью степень: 2³ = 8.

Ответ: 16³⁄⁴ = 8.

Задача 2. Упростите выражение (a²⁄³ · a⁻⁵⁄⁶) / a⁻¹⁄², где a > 0.

У всех степеней одинаковое положительное основание, поэтому можно объединить их показатели. При умножении показатели складываются, а при делении показатель знаменателя вычитается. Приведение дробей к общему знаменателю помогает избежать ошибки со знаками.

1. Объединяем множители в числителе: a²⁄³ · a⁻⁵⁄⁶ = a²⁄³⁻⁵⁄⁶.
2. Приводим показатели к знаменателю 6: 2/3 = 4/6, поэтому 4/6 − 5/6 = −1/6.
3. Делим на степень в знаменателе: a⁻¹⁄⁶ / a⁻¹⁄² = a⁻¹⁄⁶⁻(−¹⁄²).
4. Считаем показатель: −1/6 + 1/2 = −1/6 + 3/6 = 2/6 = 1/3.

Ответ: a¹⁄³.

Задача 3. Для a > 1 сравните a√2 и a⁷⁄⁵.

Точно вычислять a√2 не требуется, потому что сравнить можно показатели. Для основания a > 1 функция aˣ возрастает: большему показателю соответствует большая степень. Остаётся сопоставить √2 и 7/5.

1. Используем приближение √2 ≈ 1,414.
2. Сравниваем показатели: 1,414 > 1,4 = 7/5, значит, √2 > 7/5.
3. Переносим это сравнение на степени с основанием a > 1: a√2 > a⁷⁄⁵.

Ответ: a√2 > a⁷⁄⁵.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять формулу дробной степени, не проверив основание. В этой теме требуется a > 0, поскольку именно тогда корень и все действительные степени определены однозначно. Перед вычислением выпишите условие на основание и проверьте, не нарушено ли оно.

Иногда считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число. На самом деле минус относится к показателю и означает обратную степень: a⁻ʳ = 1/aʳ, поэтому при a > 0 результат остаётся положительным. Для проверки замените отрицательный показатель дробью и убедитесь, что числитель равен 1.

При умножении степеней некоторые складывают основания или перемножают показатели. Правило aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ работает только при одинаковом основании, а складываются в нём показатели. Сначала найдите основания, затем выполните действие только с верхними индексами.

Иррациональный показатель иногда заменяют его приближённым рациональным значением и считают ответ точным. Такое число показывает лишь приближение степени, например √2 ≈ 1,414 не означает равенство. Если нужна точная запись, оставьте показатель иррациональным и используйте сравнение или свойства степени.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны целые степени, арифметические корни и правила действий со степенями с целыми и рациональными показателями. Эти знания становятся основой для перехода к любому действительному показателю. Особенно полезно уверенно работать с отрицательными и дробными показателями.

Степень с действительным показателем используется при изучении показательной функции. Она нужна для решения показательных уравнений и неравенств, где показатель может быть нецелым или иррациональным. Свойства степени позволяют преобразовывать такие выражения.

Определение иррациональной степени связывает алгебру с понятием предела. Рациональные числа приближают действительное число, а соответствующие степени образуют последовательность. Так действия, известные для дробей, расширяются на все действительные показатели.

Что запомнить

• В теме основание степени положительно: a > 0.
• Степень с нулевым показателем равна 1.
• Отрицательный показатель задаёт обратную степень: a⁻ˣ = 1/aˣ.
• Для рационального показателя используют корень соответствующей степени.
• Степень с иррациональным показателем определяют через рациональные приближения.
• При одинаковом положительном основании показатели при умножении складывают, а при делении вычитают.
• Степень степени вычисляют умножением показателей.