"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа — это единственное неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт исходное число. Корни помогают находить неизвестные множители в степенных выражениях, упрощать вычисления и решать уравнения. Главное — помнить, что знак корня задаёт неотрицательный результат, а свойства корней можно применять только при допустимых подкоренных выражениях и ненулевом знаменателе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Его записывают ⁿ√a: число n называют показателем корня, а a — подкоренным выражением. Определение помогает понять, какое число нужно найти: такое, которое при возведении в степень n даёт a.
Показатель корня показывает, в какую степень возводят результат, чтобы получить подкоренное число. Например, в записи ³√8 показатель равен 3, потому что 2³ = 8. Для квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: вместо ²√a используют √a. По записи сразу можно определить требуемую степень.
Число или выражение под знаком корня называется подкоренным выражением. Знак корня вместе с подкоренным выражением образует радикал, например √(x + 1). Эти названия помогают различать части записи и проверять, имеет ли выражение смысл при заданных значениях переменных.
Корень из нуля любой натуральной степени равен нулю, а корень из единицы равен единице: ⁿ√0 = 0, ⁿ√1 = 1. Если n чётное, подкоренное число должно быть неотрицательным, поскольку чётная степень действительного числа не бывает отрицательной. Это условие нужно проверять до вычислений.
Арифметический корень выбирают неотрицательным, хотя уравнение с чётной степенью может иметь два решения. Например, уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3, ведь оба числа в квадрате дают 9, но √9 = 3. Знак корня означает именно арифметический корень, а не полный список решений уравнения.
Для каждого допустимого подкоренного числа существует ровно один арифметический корень. На неотрицательных числах возведение в натуральную степень строго возрастает: если одно неотрицательное число больше другого, то и его n-я степень больше. Поэтому два разных неотрицательных числа не могут дать одну и ту же степень, а значит, подходящий результат единственный.
Из определения следует связь корня и степени: (ⁿ√a)ⁿ = a, если корень определён. Обратная запись требует учёта знака: ⁿ√(aⁿ) = a при a ≥ 0. Если n чётное и a может быть отрицательным, верно ⁿ√(aⁿ) = |a|, поскольку результат корня обязан быть неотрицательным. Так определяется, какое преобразование допустимо в каждом случае.
Корень из произведения равен произведению корней: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b. Проверка проста: если возвести правую часть в степень n, получится ab; полученный результат неотрицателен, когда это требуется. Для чётного n нужны a ≥ 0 и b ≥ 0, для нечётного n допустимы любые действительные a и b. Аналогично ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b при b ≠ 0 и допустимости корней; при чётном n нужно также, чтобы a ≥ 0 и b > 0.
Чтобы упростить корень из степени, ищут в подкоренном выражении множитель, являющийся полной n-й степенью, и выносят его из-под корня. Например, √(9x²) = 3|x|: число 9 — квадрат, а при извлечении x² учитывают знак x. При чётном n вынесенная величина должна быть неотрицательной, поэтому для переменной может понадобиться модуль. При нечётном n модуль не нужен: ³√(x³) = x.
| Ситуация | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Определение арифметического корня | ⁿ√a = x ⇔ xⁿ = a | x ≥ 0; при чётном n: a ≥ 0 |
| Корень из нуля и единицы | ⁿ√0 = 0; ⁿ√1 = 1 | n — натуральное число |
| Корень из произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | При чётном n: a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень из частного | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0, b > 0 |
| Корень из n-й степени неотрицательного числа | ⁿ√(aⁿ) = a | a ≥ 0 |
| n-я степень арифметического корня | (ⁿ√a)ⁿ = a | Корень определён |
Сначала найдите нужную строку по действию, которое хотите выполнить, а затем проверьте условия в третьем столбце. Если условие не выполнено, формулу нельзя применять без дополнительного разбора знаков и области допустимых значений. Для чётного корня особенно важно убедиться, что под корнем не стоит отрицательное число.
Задача 1. Вычислить √81 и объяснить, почему ответ не −9.
Ответ: √81 = 9, а не −9.
Задача 2. Упростить √(36 · 25) двумя способами.
Ответ: √(36 · 25) = 30.
Задача 3. Упростить √(x²) и указать, как ответ зависит от знака x.
Ответ: √(x²) = |x|.
Ошибка — считать, что √a обозначает сразу оба решения уравнения x² = a. Её допускают, потому что путают значение корня с решением уравнения. Проверка: знак √ всегда обозначает неотрицательное число; если нужны оба решения, их записывают отдельно, например x = ±3.
Ошибка — упрощать √(x²) до x без условия x ≥ 0. Так делают, забывая, что переменная может быть отрицательной, а арифметический корень остаётся неотрицательным. Подставьте x = −2: √((-2)²) = 2, поэтому верная запись для любого x — |x|.
Ошибка — извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах. Причина в том, что иногда переносят правила нечётных корней на квадратный корень. Для проверки вспомните: квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит, выражение вроде √(−4) не имеет действительного значения.
Ошибка — применять свойства произведения или частного, не проверив условия. Например, свойства корня из частного недостаточно, если знаменатель равен нулю, а для чётного корня нельзя брать отрицательные подкоренные множители. Перед преобразованием проверьте знак каждого выражения под корнем и убедитесь, что знаменатель не равен нулю.
Для работы с корнями нужны степени с натуральным показателем: следует уметь возводить число в степень и понимать, как меняется результат при изменении основания. Также полезны решения простейших уравнений вида xⁿ = a. Эти знания позволяют отличать арифметический корень от всех решений такого уравнения.
Арифметический корень применяют при преобразовании степенных выражений и решении уравнений. Он также служит основой для изучения степеней с рациональными показателями: например, корень можно записать как степень с дробным показателем. Поэтому правила знаков и условия существования корня понадобятся и в следующих темах.
Почему √9 равно 3, а не ±3?
Знак √ обозначает арифметический квадратный корень, то есть неотрицательное число. Число 3 подходит, потому что 3² = 9. Число −3 тоже является решением уравнения x² = 9, но оно не является значением √9.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определён. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться отрицательному числу.
Почему √(x²) равно |x|?
Арифметический корень не может быть отрицательным, а число x может иметь любой знак. Если x ≥ 0, то √(x²) = x; если x < 0, то √(x²) = −x. Это и записывают кратко как |x|.
Можно ли извлекать корень из каждого множителя произведения?
Да, если корень чётной степени извлекают из неотрицательных множителей. Например, √(a · b) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Для нечётного показателя корня допустимы и отрицательные множители.
Когда можно применять свойство корня из частного?
Для неотрицательных a и положительного b верно ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b. При чётном n числитель и знаменатель под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби — ненулевым. Перед преобразованием проверь все эти условия.
3.5. Арифметический корень
