"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень n-й степени — число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное выражение. Главное различие связано с чётностью показателя: корень чётной степени в действительных числах извлекают только из неотрицательного числа и выбирают неотрицательным, а корень нечётной степени существует при любом действительном подкоренном выражении. Эти правила помогают упрощать выражения и решать уравнения, не теряя знаки и возможные решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — это число, n-я степень которого равна a. Его записывают как ⁿ√a, а выражение под знаком корня называют подкоренным. Такое обозначение позволяет задавать действие, обратное возведению в степень, и находить значения, которые не всегда целые.
Показатель корня — число n, показывающее, какую степень нужно возвести в корень. В записи ⁿ√a он обычно стоит слева вверху от знака корня; у квадратного корня показатель 2 принято не писать. По показателю сразу определяют, какие правила применяются: чётный он или нечётный.
Арифметический корень чётной степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, ⁴√16 = 2, а не −2, хотя и 2⁴, и (−2)⁴ равны 16. Это определение закрепляет за знаком корня одно значение и помогает отличать его от множества решений уравнения.
Корень нечётной степени из a — единственное действительное число, n-я степень которого равна a. Например, ∛(−8) = −2, поскольку (−2)³ = −8. Такое понятие нужно, чтобы извлекать корни не только из положительных, но и из нулевых и отрицательных чисел.
Чётная степень не может дать отрицательный результат: при умножении числа на себя чётное число раз отрицательные знаки попарно сокращаются. Поэтому равенство xⁿ = a при чётном n невозможно, если a < 0. Это ограничение относится именно к действительным числам; в данной теме рассматриваются действительные корни.
Если a > 0 и n чётно, уравнение xⁿ = a имеет два решения: положительное и отрицательное. Оба дают одно и то же значение после возведения в чётную степень, но знак ⁿ√a по определению обозначает только неотрицательное решение. Например, уравнение x² = 25 имеет корни 5 и −5, тогда как √25 = 5.
Нечётная степень сохраняет знак числа: отрицательное число в нечётной степени отрицательно, положительное — положительно. Кроме того, функция y = xⁿ при нечётном n возрастает на всей числовой прямой, поэтому одно значение a достигается только при одном x. Значит, корень нечётной степени определён для любого действительного a и уравнение xⁿ = a имеет ровно одно действительное решение.
Возведение в степень и извлечение корня являются обратными действиями, но при чётном показателе нужно учитывать знак. Извлечение арифметического корня возвращает неотрицательное значение, поэтому ⁿ√(xⁿ) = |x| для чётного n и ⁿ√(xⁿ) = x для нечётного n. Например, √( (−4)² ) = 4, а ∛( (−4)³ ) = −4.
Свойства степеней помогают вычислять корни и проверять результат: найденное число возводят в показатель корня и сравнивают с подкоренным выражением. Так, ∛(−27) = −3, потому что (−3)³ = −27. При работе с чётным корнем дополнительно проверяют, что подкоренное выражение неотрицательно, а ответ не имеет минусового значения.
| Свойство | Корень четной степени | Корень нечетной степени |
|---|---|---|
| Условие существования в действительных числах | Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. | Существует при любом действительном подкоренном выражении. |
| Знак корня | Неотрицательный. | Совпадает со знаком подкоренного числа; из нуля получается ноль. |
| Количество действительных корней уравнения xⁿ = a | Два при a > 0, один при a = 0, ни одного при a < 0. | Ровно один при любом a. |
| Связь с модулем при извлечении корня из степени | ⁿ√(xⁿ) = |x|. | ⁿ√(xⁿ) = x. |
| Поведение при отрицательном подкоренном выражении | Действительного корня нет. | Корень существует и отрицателен. |
| Пример | ⁴√16 = 2; уравнение x⁴ = 16 имеет решения ±2. | ∛(−8) = −2. |
Сначала определите чётность показателя, затем проверьте знак подкоренного выражения и выберите нужный столбец. Строка о числе решений относится к уравнению xⁿ = a, а не к значению самого знака корня. Последние две строки помогают проверить, не потерян ли знак при преобразовании.
Ответ: √81 = 9; уравнение x² = 81 имеет решения x = ±9. Различие связано не с вычислением, а с тем, что корень обозначает одно число, а уравнение требует найти все подходящие значения.
Ответ: имеют смысл ∛−27, ⁴√16 и ⁵√−32; √−16 не имеет смысла в действительных числах. Проверка значений проста: (−3)³ = −27, 2⁴ = 16 и (−2)⁵ = −32.
Ответ: ⁶√(x⁶) = |x|; решение уравнения — x = −121. Модуль нужен из-за чётного показателя в первом выражении, а знак минус во втором допустим благодаря нечётному показателю корня.
Ошибка: записывать √a = ±√a. Так смешивают арифметический корень с решениями уравнения x² = a: знак корня означает только неотрицательное значение. Проверка: подставьте число в исходное обозначение корня и вспомните, что √9 = 3, хотя уравнение x² = 9 имеет два решения.
Ошибка: считать корень чётной степени из отрицательного числа отрицательным. Эту мысль иногда переносят с отрицательных корней нечётной степени, но четвёртая, вторая и любая другая чётная степень действительного числа неотрицательна. Проверка: попробуйте возвести предполагаемый результат в нужную чётную степень — отрицательное число получить не удастся.
Ошибка: упрощать ⁶√(x⁶) до x. При таком переходе забывают, что x может быть отрицательным, тогда как арифметический корень неотрицателен. Правильный результат — |x|; проверить себя можно подстановкой x = −1: корень равен 1, а не −1.
Ошибка: утверждать, что корень нечётной степени существует только при положительном подкоренном числе. Ограничение чётного корня ошибочно переносят на все корни. Для проверки возведите отрицательное число в нечётную степень: например, (−2)³ = −8, значит ∛(−8) существует и равен −2.
Для работы с корнями нужны свойства степеней с натуральным показателем, правила знаков при умножении и умение решать простейшие уравнения. Эти знания позволяют определить допустимость корня и проверить найденное значение. Далее они применяются при преобразовании иррациональных выражений и решении уравнений и неравенств с корнями.
Корневые функции связаны с функциями y = xⁿ как обратные: для чётного n функцию степени рассматривают на подходящем промежутке, например x ≥ 0. График y = √x начинается при x = 0 и не имеет точек при x < 0, а график y = ∛x проходит через значения с отрицательными и положительными x. Это наглядно показывает различие областей определения корней.
Почему √9 равно 3, а не ±3?
Знак √ обозначает арифметический квадратный корень, который по определению неотрицателен. Поэтому √9 = 3. А уравнение x² = 9 имеет два решения: x = 3 и x = −3.
Можно ли извлечь корень четной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: степень чётного показателя любого действительного числа неотрицательна. Например, нет действительного числа, квадрат которого равен −16.
Почему ⁶√(x⁶) равно |x|, а не x?
Арифметический корень чётной степени должен быть неотрицательным. Если x отрицателен, то x⁶ положительно, а его неотрицательный корень равен −x; поэтому общий ответ записывают как |x|.
Может ли корень нечетной степени быть отрицательным?
Да. Например, ∛(−27) = −3, потому что (−3)³ = −27. Нечётная степень сохраняет знак числа.
Чем отличается запись корня от решения уравнения x^n = a?
Корень чётной степени обозначает одно неотрицательное число, хотя уравнение xⁿ = a при a > 0 имеет два решения. Корень нечётной степени совпадает с единственным решением уравнения xⁿ = a.
3.4. Корни четной и нечетной степеней
