3.3. Понятие корня степени n

Определения и обозначения

Корнем степени n из числа a называют число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число. Иначе говоря, корень решает уравнение, в котором неизвестное возведено в заданную степень. Это определение помогает понять, что именно требуется найти, и проверять ответ обратным действием: возвести его в степень n.

Арифметический корень степени n из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a; его обозначают √ⁿa. Например, √³8 = 2, потому что 2³ = 8. Слово «арифметический» особенно важно при чётном n: оно указывает, что выбирают неотрицательное значение, даже если уравнение имеет ещё и отрицательное решение.

Показатель корня — число n, которое показывает, в какую степень нужно возвести корень, чтобы получить подкоренное выражение. Его записывают слева сверху у знака радикала: √³8 — корень третьей степени. У квадратного корня показатель 2 обычно не пишут, поэтому √a означает √²a; такое сокращение делает запись короче.

Подкоренное выражение — число или выражение, расположенное под знаком корня. В записи √ⁿa подкоренное выражение — a, а показатель — n. Это название нужно, чтобы точно говорить, из какого объекта извлекают корень и какие ограничения могут быть у записи, например для корня чётной степени в действительных числах.

Как это устроено

Понятие корня появляется как обратное действие к возведению в степень: если известно, что xⁿ = a, то поиск x и есть поиск корня степени n из a. Например, для x³ = 27 нужно найти число, куб которого равен 27. Такой подход связывает определение корня с решением уравнения, а не с угадыванием отдельного значения. При этом надо различать корни уравнения и арифметический корень, обозначаемый знаком радикала.

При нечётном n знак результата совпадает со знаком исходного числа: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, а положительное — положительным. Кроме того, при увеличении действительного x значения xⁿ непрерывно растут от сколь угодно больших отрицательных до сколь угодно больших положительных чисел. Поэтому для каждого действительного a графически или по свойствам степени находится одно значение x, дающее xⁿ = a. Иными словами, уравнение имеет ровно один действительный корень, в том числе когда a отрицательно.

При чётном n знак x не влияет на знак xⁿ: множители можно объединить в пары одинаковых чисел, и каждая пара даёт неотрицательное произведение. Поэтому отрицательное a получить невозможно, а при a < 0 действительных решений нет. Если a > 0, подходящее положительное число и число с противоположным знаком дают одну и ту же чётную степень. Отсюда у уравнения два решения, которые отличаются только знаком.

Если a = 0, равенство xⁿ = 0 выполняется лишь при x = 0: ненулевое число не может дать ноль при возведении в степень. Это верно и для чётного, и для нечётного n. При a > 0 и чётном n арифметическим корнем называют только положительное из двух решений; при a = 0 он равен нулю. Поэтому знак √ⁿa не означает сразу оба решения уравнения: отрицательное решение при необходимости записывают отдельно.

Действительные корни уравнения x^n = a

Сначала определите, чётный или нечётный показатель стоит в уравнении, затем найдите строку с нужным условием на a. В последнем столбце указаны решения уравнения, а не только значение арифметического корня. Для нечётного показателя запись √ⁿa может быть отрицательной, если a < 0.

Разбор задач

Задача 1. Найдите все действительные корни уравнения x³ = 27. Здесь показатель 3 нечётный, поэтому достаточно найти одно число, куб которого равен 27. Уравнение при таком показателе не может иметь второго действительного корня. Проверка возведением в третью степень подтвердит найденное значение.

1. Определяем показатель: n = 3, он нечётный.
2. Подбираем число: 3³ = 3 · 3 · 3 = 27, значит, x = 3 подходит.
3. По свойству нечётной степени действительный корень единственный, поэтому других значений x нет.

Ответ: x = 3.

Задача 2. Найдите все действительные корни уравнения x⁴ = 16 и отдельно укажите √⁴16. Показатель 4 чётный, а правая часть положительная, поэтому уравнение имеет два противоположных решения. Знак корня при этом обозначает только арифметическое, то есть неотрицательное, значение. Проверим оба числа и отдельно запишем результат извлечения корня.

1. Находим число, четвёртая степень которого равна 16: 2⁴ = 16.
2. При чётной степени противоположное число даёт ту же степень: (−2)⁴ = 16. Значит, решения уравнения — 2 и −2.
3. В выражении √⁴16 выбираем неотрицательное значение, поэтому √⁴16 = 2.

Ответ: корни уравнения — 2 и −2; √⁴16 = 2.

Задача 3. Определите число действительных корней уравнения x⁶ = −64, а затем уравнения x⁵ = −32. В первом уравнении показатель чётный и правая часть отрицательная, поэтому сначала достаточно проверить возможность такого значения степени. Во втором показатель нечётный, значит, отрицательное значение справа допустимо. После этого найдём число, которое при пятой степени даёт −32.

1. В уравнении x⁶ = −64 показатель 6 чётный, а шестая степень действительного числа неотрицательна. Действительных корней нет.
2. В уравнении x⁵ = −32 показатель 5 нечётный, поэтому отрицательный корень возможен.
3. Так как (−2)⁵ = −32, получаем единственный действительный корень x = −2.

Ответ: у первого уравнения 0 действительных корней, у второго — 1 корень, x = −2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √ⁿa при чётном n обозначает оба корня. Её допускают, потому что уравнение xⁿ = a действительно имеет два решения при a > 0, и переносят это число решений на знак радикала. Но арифметический корень по определению неотрицателен. Проверьте, что запись √⁴16 означает 2, тогда как решения уравнения x⁴ = 16 — 2 и −2.

Ошибка: утверждать, что при чётном n и отрицательном a корень существует. Иногда кажется, что достаточно подобрать число с нужным модулем, но чётная степень отрицательного числа тоже положительна. Проверка простым возведением показывает, что x⁶ не может равняться −64 ни при каком действительном x. Всегда сначала смотрите на знак правой части.

Ошибка: считать отрицательное a недопустимым при любом показателе. Такое ограничение относится к чётной степени, а не ко всем корням: нечётная степень сохраняет знак отрицательного числа. Например, (−2)³ = −8, поэтому корень третьей степени из −8 существует. Для проверки определите чётность n и возведите предполагаемый корень в нужную степень.

Ошибка: записывать только положительный корень уравнения xⁿ = a при чётном n и a > 0. Положительное число действительно подходит, но его противоположное даёт ту же степень. Часто путают решение уравнения с арифметическим корнем, который один и неотрицателен. Чтобы проверить полноту ответа, подставьте оба числа и проверьте, не забыто ли решение с противоположным знаком.

Связь с другими темами

До изучения корней нужно уметь возводить число в натуральную степень и определять, чётный показатель или нечётный. Эти знания объясняют, какие значения могут принимать степени и сколько решений возможно у уравнения xⁿ = a. При решении полезно проверять найденный корень возведением в соответствующую степень.

Корни понадобятся при преобразовании выражений с радикалами и решении уравнений вида xⁿ = a. Различие между всеми решениями уравнения и арифметическим корнем помогает не терять знак и не добавлять лишние решения. Понимание определения станет основой для изучения свойств корней и степеней с рациональными показателями.

Что запомнить

• Корень степени n из a — решение уравнения xⁿ = a.
• При нечётном n для любого действительного a существует ровно один действительный корень.
• При чётном n и a < 0 действительных корней нет.
• При чётном n и a > 0 уравнение xⁿ = a имеет два противоположных корня.
• При a = 0 корень равен нулю при любом натуральном n.
• Арифметический корень чётной степени неотрицателен.
• Знак √ⁿa обозначает арифметический корень, а не множество решений уравнения.