"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень n-й степени из числа a — это число, которое после возведения в степень n даёт a. Показатель n определяет, сколько раз число умножается само на себя. При нечётном показателе корень существует для любого действительного числа и единственен, а при чётном отрицательные подкоренные выражения не дают действительных корней. Арифметическим называют только неотрицательный корень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — действительное число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число, большее 1. Иными словами, нужно найти число, обратное возведению в степень. Такой подход помогает решать уравнения вида xⁿ = a.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, √[4]{16} = 2, а не −2. Это обозначение выбирает один определённый корень и не создаёт двусмысленности.
Показатель корня — число n, записанное слева вверху у знака корня. Он показывает, в какую степень нужно возвести результат извлечения. Если показатель не указан, знак √ обычно обозначает квадратный корень, то есть корень второй степени.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Именно его значение должно получиться после возведения найденного числа в степень n. В записи √[3]{2x − 1} подкоренным выражением является 2x − 1.
Извлечение корня является действием, обратным возведению в степень. Если известно, что 3⁴ = 81, то из 81 можно извлечь корень четвёртой степени и получить 3. Поэтому при вычислении корня ищут число, которое после умножения само на себя n раз даст подкоренное выражение.
При нечётном n функция y = xⁿ сохраняет порядок: если одно число больше другого, то и его нечётная степень больше. Кроме того, при движении x от отрицательных значений к положительным xⁿ проходит через все действительные значения. Поэтому уравнение xⁿ = a имеет ровно один действительный корень при любом a.
При чётном n отрицательное число после возведения в степень становится положительным, потому что знаки перемножаются парами. Нулевая степень результата невозможна для отрицательного a, поэтому xⁿ = a при a < 0 решений не имеет. При a > 0 положительное число и противоположное ему число дают одну и ту же чётную степень, поэтому появляются два корня.
Арифметическим называют только неотрицательный корень, чтобы запись корня обозначала единственное число. Для чётного показателя он существует при a ≥ 0, поскольку чётная степень не бывает отрицательной. При нечётном показателе отрицательное решение уравнения существует, но арифметическим корнем его не называют, так как оно не является неотрицательным.
Запись √[n]{a} читают «корень n-й степени из a». Проверка выполняется равенством (√[n]{a})ⁿ = a, если корень существует в действительных числах. Например, для √[3]{−27} проверяем (−3)³ = −27, а для √[4]{81} — 3⁴ = 81.
| Условие | Корни уравнения xⁿ = a | Арифметический корень |
|---|---|---|
| n нечётное, a — любое действительное число | Один действительный корень | При a ≥ 0 он совпадает с этим корнем |
| n чётное, a < 0 | Действительных корней нет | Не существует |
| n чётное, a = 0 | Единственный корень x = 0 | √[n]{0} = 0 |
| n чётное, a > 0 | Два корня: x и −x | Неотрицательный из двух корней |
| n чётное, a ≥ 0 | Один корень при a = 0 или два при a > 0 | Неотрицательный корень |
Сначала определите, чётный или нечётный показатель, затем посмотрите на знак числа a. Так можно заранее узнать, сколько решений ожидать. При записи арифметического корня выбирают только неотрицательное значение.
Нужно подобрать для каждого выражения число, чья степень совпадает с подкоренным выражением. Показатели 3 и 4 имеют разную чётность, поэтому правила для двух корней будут различаться.
Ответ: √[3]{−27} = −3; √[4]{81} = 3.
В первом уравнении показатель нечётный, поэтому решение будет единственным. Во втором показатель чётный, а правая часть положительна, значит, нужно указать два противоположных корня.
Ответ: x = −2; x = 3 или x = −3.
Здесь корень шестой степени равен положительному числу. Чтобы убрать корень, возведём обе части равенства в шестую степень, а затем проверим найденное значение и область допустимых значений.
Ответ: x = 365.
Корень чётной степени из отрицательного числа считают существующим. Ошибка возникает из-за переноса свойства нечётного корня на чётный. Проверьте себя: чётная степень любого действительного числа неотрицательна.
Записывают √[n]{a} как ±x. Так смешивают арифметический корень с решениями уравнения xⁿ = a. Подставьте найденный результат в определение: арифметический корень всегда должен быть неотрицательным.
В уравнении при чётном n и a > 0 указывают только один корень. Обычно забывают, что противоположные числа имеют одинаковые чётные степени. После нахождения положительного корня обязательно добавьте его противоположное значение.
Показатель корня путают с показателем степени. Показатель корня стоит слева вверху у знака корня, а показатель степени — справа вверху у числа или выражения. Если индекс у √ не написан, обычно имеется в виду квадратный корень, а не произвольная степень.
До изучения корней нужно уметь возводить числа и выражения в натуральную степень, применять свойства степеней и решать простейшие уравнения. Эти навыки позволяют находить корни подбором и проверять ответ.
Квадратный корень — частный случай арифметического корня второй степени. Например, √16 и √[2]{16} обозначают одно и то же неотрицательное число 4.
Дальше корни понадобятся при преобразовании выражений, решении иррациональных уравнений и изучении степеней с рациональными показателями. Понимание чётности показателя поможет правильно выбирать область допустимых значений.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным?
При чётном показателе степень любого действительного числа неотрицательна: например, x⁴ ≥ 0. Поэтому равенство x⁴ = −16 невозможно в действительных числах.
Почему у уравнения x^4 = 16 два корня, а у арифметического корня √[4]{16} только один?
Уравнение имеет два решения: x = 2 и x = −2, потому что четвёртая степень обоих чисел равна 16. Знак корня обозначает арифметический корень, поэтому √[4]{16} = 2.
Что делать, если показатель корня нечётный?
Нужно найти число, которое в этой нечётной степени даёт подкоренное выражение. Для любого действительного подкоренного выражения такой корень существует и единственен.
Можно ли извлекать корень из отрицательного числа?
Да, если показатель корня нечётный: например, √[3]{−8} = −2. При чётном показателе корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел.
Как проверить, правильно ли найден корень?
Возведите найденное число в степень, указанную показателем корня. Результат должен совпасть с подкоренным выражением.
5.1. Понятие корня степени n
