"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень степени n — число, которое при возведении в степень n даёт заданное число. Для нечётного показателя такой корень существует при любом действительном подкоренном числе, а для чётного — только у неотрицательного числа. Арифметическим называют неотрицательный корень. В параграфе изучаются свойства корней из произведения, частного и степени, а также правила преобразования выражений с корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень степени n из числа a — число x, являющееся решением уравнения xⁿ = a. Если n нечётно, такое действительное решение существует и единственно для любого a. Если n чётно, у положительного a два решения, у нуля одно, а для отрицательного a действительных решений нет.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, арифметический корень четвёртой степени из 16 равен 2, а не −2. Выбор неотрицательного значения делает запись корня однозначной.
Показатель корня — число n, показывающее, в какую степень нужно возвести корень, чтобы получить подкоренное число. Всегда предполагается, что n > 1. Чем показатель больше, тем другую степень требуется найти, например вторую, третью или пятую.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня, например a, ab или x² + 1. Его значение используется для определения корня. Для арифметического корня это значение должно быть неотрицательным.
При нечётном показателе степени знак числа сохраняется: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным. Поэтому уравнение xⁿ = a имеет действительное решение при любом a. Функция y = xⁿ при нечётном n возрастает, поэтому одному значению a соответствует только один корень.
При чётном показателе и положительные, и отрицательные числа дают положительный результат. Например, 2⁴ = 16 и (−2)⁴ = 16, поэтому уравнение имеет два решения. Отрицательное значение получить нельзя, ведь произведение чётного числа одинаковых множителей неотрицательно.
Арифметический корень выбирают неотрицательным именно для устранения этой двойственности. Так, запись корень четвёртой степени из 16 означает 2, хотя уравнение x⁴ = 16 имеет ещё решение −2. Поэтому арифметический корень — это не просто любое решение уравнения, а специально выбранное неотрицательное.
Из определения сразу следует: (корень степени n из a)ⁿ = a, если a ≥ 0. Но в обратном преобразовании нужно учитывать знак исходного числа: корень степени n из aⁿ равен |a| при чётном n, потому что арифметический корень не может быть отрицательным, и равен a при нечётном n.
Свойства произведения и частного основаны на свойствах степеней: произведение корней при возведении в n-ю степень даёт произведение подкоренных чисел. Поэтому корень степени n из ab можно заменить произведением корней, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Аналогично корень из a/b равен частному корней при a ≥ 0 и b > 0; нулевой знаменатель запрещён.
Чтобы вынести множитель, подкоренное выражение представляют как bⁿ · a. Тогда полная n-я степень превращается в множитель b, а остаток остаётся под корнем: корень степени n из (bⁿa) = b умножить на корень степени n из a при допустимом знаке. При чётном n и отрицательном b правильнее записывать |b|, поскольку арифметический корень неотрицателен.
В таблице собраны определения и формулы, которые удобно проверять перед преобразованием выражения. Сначала определите показатель корня и допустимые значения подкоренных выражений. Затем выберите нужное свойство и убедитесь, что его ограничения выполнены.
| Ситуация | Формула или условие | Результат | Ограничения и замечания |
|---|---|---|---|
| Арифметический корень | Корень степени n из a | Неотрицательное число x, для которого xⁿ = a | n > 1, a ≥ 0 |
| Корень из произведения | Корень степени n из ab | Корень степени n из a умножить на корень степени n из b | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень из частного | Корень степени n из a/b | Корень степени n из a разделить на корень степени n из b | a ≥ 0, b > 0 |
| Корень из собственной степени | Корень степени n из aⁿ | |a| при чётном n; a при нечётном n | Не забывать о чётности показателя |
| Возведение корня в показательную степень | (корень степени n из a)ⁿ | a | a ≥ 0 |
| Вынесение множителя | Корень степени n из (bⁿ · a) | b умножить на корень степени n из a | Для чётного n при отрицательном b требуется учитывать модуль |
Нужно найти такие числа, которые после возведения в указанные степени дадут подкоренные значения. Сначала проверим, не нарушены ли условия существования корней. Чётность показателя особенно важна для первого выражения.
Ответ: 3 и −5.
В первом выражении произведение равно 108, но удобнее выделить полный куб. Во втором выражении выделим полную четвёртую степень. Такой способ позволяет применить правило вынесения множителя.
Ответ: 3 · корень степени 3 из 4; 2 · корень степени 4 из 3.
Показатель корня равен 4, поэтому нужно представить степени под корнем как четвёртые степени. Условия x ≥ 0 и y ≥ 0 позволяют вынести множители без модулей. Затем применим свойство корня из произведения.
Ответ: x²y.
Ошибка: считать корень чётной степени из отрицательного числа действительным. Её допускают, забывая, что чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Проверьте знак подкоренного выражения до вычисления: при чётном показателе отрицательное значение сразу означает отсутствие действительного корня.
Ошибка: писать корень степени n из aⁿ равным a при любом n. При чётном n арифметический корень обязан быть неотрицательным, поэтому результатом будет |a|. Для проверки возьмите a = −2: корень степени 2 из (−2)² равен 2, а не −2.
Ошибка: применять свойство корня из частного при нулевом или отрицательном знаменателе. При знаменателе 0 выражение не имеет смысла, а отрицательное подкоренное выражение недопустимо для арифметического корня чётной степени. Перед преобразованием проверьте, что a ≥ 0, а b > 0.
Ошибка: раскладывать корень из суммы на сумму корней. Такого свойства нет, потому что возведение суммы в степень создаёт дополнительные слагаемые. Проверяйте сомнительное равенство на простом примере: √2 не равно 2.
Для изучения корней нужны знания о степенях с натуральным показателем и свойствах степеней. Также понадобятся модуль числа и решение простейших уравнений, поскольку знак результата зависит от чётности показателя.
Свойства корней используются при преобразовании иррациональных выражений, а также при решении уравнений и неравенств с корнями. Умение проверять ограничения помогает не потерять или не добавить решения.
Позднее корни встретятся при изучении иррациональных функций и станут основой для перехода к степеням с дробными показателями.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным?
При возведении любого действительного числа в чётную степень получается неотрицательное число: например, x² ≥ 0. Поэтому равенство x⁴ = −16 невозможно среди действительных чисел.
Чем корень степени n отличается от арифметического корня?
Корень степени n — общее понятие: при нечётном n он может быть отрицательным, если подкоренное число отрицательно. Арифметический корень рассматривают только при неотрицательном подкоренном числе и выбирают неотрицательным.
Почему корень степени n из a^n иногда равен |a|, а не a?
При чётном n числа a и −a имеют одну и ту же степень, поэтому арифметический корень должен выбрать неотрицательное значение. Значит, корень степени n из aⁿ равен |a| при чётном n, а при нечётном n равен a.
Можно ли раскладывать корень из суммы на сумму корней?
Нет, равенство √(a + b) = √a + √b вообще неверно. Например, √(1 + 1) = √2, а √1 + √1 = 2.
Как вынести множитель из-под знака корня?
Нужно представить подкоренное выражение как произведение полной n-й степени и оставшегося множителя: корень степени n из bⁿa. Затем полную степень можно вынести за знак корня, учитывая модуль при чётном n.
§ 5. Корень степени п
