"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Степенные функции y = x²ᵐ и y = x²ᵐ⁺¹ отличаются чётностью показателя, а значит, знаками значений и симметрией графика. Обе определены при любых действительных x и проходят через начало координат и точку (1; 1). Для чётного показателя график симметричен относительно оси Oy, убывает слева от нуля и возрастает справа. Для нечётного показателя функция возрастает на всей числовой прямой и обладает центральной симметрией относительно начала координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция с чётным натуральным показателем записывается так: y = x2m, где m — натуральное число. Показатель 2m всегда чётный: например, при m = 1 получаем x², а при m = 3 — x⁶. Такой вид помогает сразу предсказать неотрицательность значений и симметрию графика.
Степенная функция с нечётным натуральным показателем имеет вид y = x2m+1, где m — натуральное число. Показатель 2m + 1 всегда нечётный: это могут быть 3, 5, 7 и так далее. По этой записи можно заранее определить сохранение знака x и симметрию относительно начала координат.
Чётной называют функцию, для которой выполняется равенство f(−x) = f(x) при каждом x из области определения. Противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, поэтому левая и правая части графика зеркально отражаются относительно оси Oy. Проверка этого равенства нужна, чтобы быстро установить чётность по формуле.
Нечётной называют функцию, для которой f(−x) = −f(x). При замене x на противоположное число значение меняет знак, а точки графика переходят друг в друга поворотом на 180° вокруг начала координат. Это условие позволяет отличить центральную симметрию от симметрии относительно оси Oy.
Обе функции определены при любом действительном x, потому что натуральная степень означает конечное умножение числа самого на себя. Для положительного, отрицательного и нулевого основания такое умножение выполнимо. Поэтому область определения каждой из функций — вся числовая прямая.
Если показатель чётный, отрицательные множители объединяются в пары, и произведение получается неотрицательным: x2m ≥ 0. Кроме того, (−x)2m = x2m, ведь чётное число минусов исчезает попарно. Отсюда следуют множество значений [0; +∞) и симметрия графика относительно Oy.
При нечётном показателе у отрицательного x остаётся один непарный знак «минус», поэтому x2m+1 имеет тот же знак, что и x. Равенство (−x)2m+1 = −x2m+1 означает нечётность функции. Именно поэтому график симметричен относительно начала координат, а его значения могут быть любыми действительными числами.
Для x ≥ 0 сравнение степеней объясняет поведение графиков. Если x > 1, то увеличение показателя увеличивает значение степени, а если 0 < x < 1, то уменьшает его; при x = 0 или x = 1 все такие степени совпадают. При этом каждая функция возрастает на положительной полуоси, потому что при увеличении неотрицательного x увеличивается его степень.
Чтобы построить весь график, достаточно исследовать положительную полуось, а затем применить симметрию. Для чётной степени полученную ветвь отражают относительно Oy, поэтому слева график убывает к точке (0; 0), а справа возрастает. Для нечётной степени вторую часть получают центральной симметрией, и график проходит из третьей четверти через начало координат в первую.
| Свойство | y = x2m | y = x2m+1 |
|---|---|---|
| Область определения | ℝ | ℝ |
| Множество значений | [0; +∞) | ℝ |
| Чётность функции | Чётная | Нечётная |
| Промежутки возрастания и убывания | Убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞) | Возрастает на всей ℝ |
| Наибольшее и наименьшее значения | Минимум 0; наибольшего значения нет | Наибольшего и наименьшего значений нет |
| Точки пересечения с осями | O(0; 0) | O(0; 0) |
| Симметрия графика | Относительно оси Oy | Относительно начала координат |
Таблица помогает исследовать функцию без построения большого числа точек. Сначала определите чётность показателя, затем найдите нужную колонку и проверьте область определения, значения и монотонность. Для эскиза графика достаточно учесть симметрию и обязательные точки.
Найдём область определения, множество значений и вид симметрии функции. Показатель 6 — чётное натуральное число. Значит, можно применить свойства функции с чётным показателем.
Ответ: D = ℝ, E = [0; +∞); функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy.
Исследуем монотонность и экстремумы на всей числовой прямой. Показатель 5 нечётный, поэтому отрицательные значения x дают отрицательные значения функции. Для любых соседних чисел a < b степень с нечётным показателем сохраняет порядок: a⁵ < b⁵.
Ответ: y = x⁵ возрастает на всей ℝ и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Сравним две функции по показателям 4 и 5. Нужно установить симметрию, поведение при x < 0 и общие точки. На положительной полуоси при x > 1 значение x⁵ больше x⁴, а при 0 < x < 1 — меньше.
Ответ: y = x⁴ симметрична относительно Oy и неотрицательна, y = x⁵ симметрична относительно начала координат и сохраняет знак x; общие обязательные точки — (0; 0) и (1; 1).
Ошибка: указывать для чётной степени множество значений ℝ. Её допускают, забывая, что минусы при умножении объединяются в пары; проверить себя можно неравенством x2m ≥ 0.
Ошибка: считать функцию с чётным показателем возрастающей на всей прямой. Слева от нуля при движении к нулю модуль x уменьшается, поэтому функция убывает; проверьте отдельно промежутки (−∞; 0] и [0; +∞).
Ошибка: называть функцию с нечётным показателем чётной из-за похожей формы графика. Подстановка −x даёт f(−x) = −f(x), а не f(x); именно это равенство нужно использовать для проверки.
Ошибка: переносить свойства при x > 0 на всю прямую без учёта показателя. При отрицательных x чётная степень даёт положительный результат, а нечётная сохраняет знак минус; сравнивайте знак и симметрию отдельно.
Для этой темы нужны свойства степеней с натуральным показателем, особенно правила определения знака результата при положительном и отрицательном основании. Они объясняют, почему чётная и нечётная степени ведут себя по-разному.
Исследование функций опирается на область определения, множество значений, монотонность и симметрию графика. Эти понятия помогают описывать функцию не только формулой, но и её поведением.
Степенные функции пригодятся при решении уравнений и неравенств, построении графиков и выполнении преобразований выражений. Понимание их свойств сокращает число вычислений и помогает выбирать способ решения.
Почему функция с чётным показателем не принимает отрицательных значений?
При возведении любого числа в чётную степень множители можно объединить в пары: отрицательные знаки в каждой паре дают плюс. Поэтому x²ᵐ ≥ 0 для любого действительного x.
Как по формуле определить, симметричен ли график относительно оси Oy или начала координат?
Нужно заменить x на −x и сравнить результат с исходной формулой. Если f(−x) = f(x), функция чётная и график симметричен относительно оси Oy; если f(−x) = −f(x), функция нечётная и симметрична относительно начала координат.
Почему функция y = x²ᵐ сначала убывает, а затем возрастает?
При движении по отрицательной полуоси к нулю модуль x уменьшается, поэтому его чётная степень тоже уменьшается. После перехода через ноль модуль x растёт, и значение степени увеличивается.
Всегда ли функция y = x²ᵐ⁺¹ возрастает на всей числовой прямой?
Да, для любого натурального m функция с нечётным натуральным показателем возрастает на всей числовой прямой. При увеличении x и знак, и абсолютная величина результата изменяются так, что значение функции увеличивается.
Какие точки обязательно принадлежат графикам этих функций?
Оба графика проходят через начало координат O(0; 0), поскольку 0 в натуральной степени равен нулю. Также им принадлежит точка (1; 1), потому что 1 в любой натуральной степени равен единице.
4.2. Свойства и график функций у = х2т и у = х2т* '
