4.1. Свойства и график функции у = х", х^О

Определения и обозначения

Степенная функция — функция y = xⁿ, где n — целое число. Показатель может быть положительным, нулевым или отрицательным, и от этого зависит допустимое значение x. Такое обозначение объединяет функции y = x², y = x³ и y = 1/x².

Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x). Противоположные значения аргумента дают один и тот же результат, поэтому график отражается сам в себя относительно оси Oy. Это позволяет построить одну половину графика и получить вторую симметрично.

Нечётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = −f(x). При замене x на −x точка графика переходит в точку, противоположную относительно начала координат. Зная одну ветвь, можно восстановить другую поворотом на 180° вокруг начала координат.

Область определения — все значения x, при которых формула имеет смысл. При n ≥ 0 функция y = xⁿ определена при любом действительном x, а при n < 0 нужно исключить x = 0. Причина в том, что отрицательная степень означает деление на положительную степень x.

Как это устроено

Знак показателя меняет сам вид формулы. Если n > 0, остаётся обычная степень xⁿ, например x³; если n < 0, то xⁿ = 1/x⁻ⁿ, например x⁻³ = 1/x³. В последней записи знаменатель при x = 0 равен нулю, поэтому такая точка запрещена.

Чётность показателя объясняет симметрию через свойства степеней. Для чётного n противоположные числа после возведения в степень дают одинаковый результат: (−x)ⁿ = xⁿ. Для нечётного n знак сохраняется, поэтому (−x)ⁿ = −xⁿ, что и создаёт симметрию относительно начала координат.

Положительные и отрицательные показатели дают графики разного типа. При n > 0 значение в нуле существует, и при n > 0 оно равно 0, поэтому график проходит через начало координат. При n < 0 нулевая точка исключена, а при приближении x к нулю дробь по модулю становится очень большой, поэтому график имеет разрыв и не пересекает ось Oy.

На положительной полуоси значение xⁿ всегда положительно при любом ненулевом показателе. На отрицательной полуоси чётная степень также даёт положительный результат, потому что знаки перемножаются попарно. Нечётная степень сохраняет знак x: при положительном x функция положительна, а при отрицательном — отрицательна.

Рассмотрим четыре образца. График y = x² — парабола, симметричная относительно Oy, а y = x³ — симметричная относительно начала координат кривая. График y = 1/x² состоит из двух положительных ветвей в I и II четвертях, тогда как y = 1/x имеет ветви в I и III четвертях и обладает нечётной симметрией.

Свойства функции y = xⁿ в зависимости от показателя

В таблице сначала определите знак показателя, затем его чётность. После этого можно сразу установить область определения, знаки и симметрию графика. Промежутки монотонности указаны для каждой части области определения отдельно.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = x⁴ нужно найти область определения, множество значений и вид симметрии. Показатель 4 положительный, поэтому нулевая точка допустима. Он также чётный, поэтому значения в симметричных точках совпадают.

1. Так как 4 > 0, область определения: x ∈ R.
2. Четвёртая степень неотрицательна: x⁴ ≥ 0. Поэтому множество значений: y ∈ [0; +∞).
3. Проверим симметрию: (−x)⁴ = x⁴. Функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: область определения — R, множество значений — [0; +∞); график симметричен относительно оси Oy.

Задача 2

Построим график y = 1/x³ и определим его четверти. Отрицательный показатель означает, что x = 0 нельзя подставлять, а нечётность показателя определяет знаки на полуосях. Для построения достаточно отметить несколько точек и учесть симметрию.

1. Запишем функцию как y = x⁻³ = 1/x³, поэтому область определения: x ≠ 0.
2. Возьмём точки: (1; 1), (2; 1/8), (−1; −1), (−2; −1/8).
3. При x > 0 значение y > 0, значит, ветвь расположена в I четверти. При x < 0 значение y < 0, значит, в III четверти.
4. Так как показатель нечётный, график симметричен относительно начала координат; оси координат он не пересекает.

Ответ: график расположен в I и III четвертях, симметричен относительно начала координат, а x = 0 не входит в область определения.

Задача 3

График y = xⁿ проходит через точку (2; 1/8), значит, при x = 2 значение функции равно 1/8. Нужно подобрать целый отрицательный показатель, для которого 2ⁿ превращается в эту дробь. После нахождения n применим свойства соответствующей группы функций.

1. Подставим координаты точки: 1/8 = 2ⁿ.
2. Представим дробь как степень двойки: 1/8 = 1/2³ = 2⁻³. Следовательно, n = −3.
3. Функция имеет вид y = 1/x³, поэтому область определения: x ≠ 0, множество значений: y ≠ 0.
4. Показатель отрицательный и нечётный: функция нечётная, график симметричен относительно начала координат, убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞), а ветви находятся в I и III четвертях.

Ответ: n = −3; основные свойства функции y = 1/x³ указаны в последнем пункте решения.

Типичные ошибки

1. В область определения при n < 0 включают x = 0. Так происходит, если забыть, что отрицательная степень превращается в дробь. Проверьте знаменатель: он не должен обращаться в ноль.

2. Любую функцию y = xⁿ считают чётной. Чётность определяется не самой записью, а чётностью целого показателя: при нечётном n симметрия другая. Подставьте −x и сравните результат с f(x) и −f(x).

3. Считают, что при нечётном показателе график обязательно проходит через начало координат. Это верно только при положительном n; при отрицательном показателе функция в нуле не определена. Сначала проверьте знак показателя.

4. Свойства положительных степеней переносят на отрицательные. Например, y = 1/x² не возрастает на всей области: она возрастает слева от нуля и убывает справа. Разделяйте область определения точкой разрыва.

Связь с другими темами

Для работы со степенной функцией нужны свойства степеней с целым показателем. Особенно важно правило x⁻ᵐ = 1/xᵐ и запрет деления на ноль. Эти знания помогают быстро находить область определения.

Чётные и нечётные функции встречаются при исследовании многих графиков. Их симметрия сокращает количество вычислений: достаточно построить одну часть и восстановить вторую.

Степенные графики позволяют сравнивать скорость роста функций и анализировать дробно-рациональные выражения. Поведение y = 1/xⁿ около нуля также подводит к понятию асимптоты.

Что запомнить

• При n < 0 функция y = xⁿ не определена при x = 0.
• Чётный показатель даёт симметрию относительно оси Oy.
• Нечётный показатель даёт симметрию относительно начала координат.
• При чётном показателе значения функции неотрицательны.
• При нечётном показателе знак функции совпадает со знаком x.
• Графики функций с отрицательным показателем не пересекают ось Oy.
• При n > 0 график проходит через начало координат.