"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Степенная функция y = xⁿ каждому числу x ставит в соответствие его n-ю степень. Показатель n определяет знак значений, симметрию графика и поведение функции на разных промежутках. При чётном n функция симметрична относительно оси y и принимает только неотрицательные значения, а при нечётном n её график симметричен относительно начала координат, а знак значения совпадает со знаком x. Эти свойства помогают строить графики, сравнивать значения и решать уравнения и неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — это функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число. Показатель n задаёт правило соответствия: каждому допустимому значению x ставится в соответствие его n-я степень. Например, при n = 2 получаем y = x², а при n = 3 — y = x³; изучение показателя помогает предсказывать свойства графика.
Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения выполняется условие f(−x) = f(x). Значения в точках x и −x одинаковы, поэтому график отражается зеркально относительно оси y. Это условие удобно использовать, чтобы определить симметрию без построения всего графика.
Функция называется нечётной, если выполняется f(−x) = −f(x). При замене x на −x точка графика переходит в точку, противоположную относительно начала координат, поэтому график обладает центральной симметрией. Так можно быстро установить вид симметрии функции y = xⁿ.
Знак числа xⁿ определяется тем, сколько отрицательных множителей входит в произведение. При чётном n минусы попарно перемножаются и дают плюс, поэтому отрицательное x превращается в положительное значение. При нечётном n один минус остаётся без пары, и результат сохраняет знак аргумента.
Для функции y = xⁿ при чётном n имеем (−x)ⁿ = xⁿ, то есть f(−x) = f(x). Точки с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты и располагаются на одинаковом расстоянии от оси y. При нечётном n выполняется (−x)ⁿ = −xⁿ, поэтому точка (x; y) сопровождается точкой (−x; −y), что и даёт симметрию относительно начала координат.
При чётном показателе функция слева от нуля убывает: если x увеличивается от очень отрицательного значения к нулю, число его степень уменьшается. После нуля значения начинают возрастать, потому что модуль x становится больше. При нечётном показателе увеличение x всегда приводит к увеличению xⁿ, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
Несколько значений сразу дают опорные точки графика. При x = 0 получаем (0; 0), при x = 1 — (1; 1), а при x = −1 результат равен 1 для чётного n и −1 для нечётного n. Точка при x = −1 помогает отличить два типа степенных графиков и проверить, правильно ли учтён знак.
На положительных аргументах сравнивают степени по самим основаниям: при одинаковом показателе большее положительное число даёт большее значение. На отрицательных аргументах сначала определяют знак по чётности n, а затем сравнивают модули оснований. Например, (−3)² больше (−2)², но (−3)³ меньше (−2)³, поскольку оба результата отрицательны и число с большей по модулю величиной оказывается левее на числовой прямой.
| Свойство | n чётное | n нечётное |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | [0; +∞) | Все действительные числа |
| Чётность функции и симметрия графика | Чётная; симметрия относительно оси y | Нечётная; симметрия относительно начала координат |
| Поведение при x < 0 | Значения положительны или равны нулю; при движении к нулю функция убывает | Значения отрицательны; функция возрастает |
| Промежутки убывания и возрастания | Убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞) | Возрастает на всей числовой прямой |
| Точки пересечения с координатными осями | (0; 0) | (0; 0) |
Таблица помогает выбрать нужное свойство по чётности показателя. Для построения графика достаточно отметить характерные точки, учесть направление движения функции и провести симметричную ветвь.
Определим, какие из функций y = x⁴ и y = x⁵ являются чётными, а какие нечётными, и опишем симметрию их графиков.
Ответ: y = x⁴ — чётная функция, y = x⁵ — нечётная функция; их графики имеют соответственно осевую и центральную симметрию.
Сравним значения (−2)⁶ и (−2)⁵ и объясним различие их знаков.
Ответ: (−2)⁶ = 64, (−2)⁵ = −32, следовательно, (−2)⁶ > (−2)⁵.
По графику y = x³ определим, при каких x функция принимает значения меньше нуля, и решим неравенство x³ < 8.
Ответ: x³ < 0 при x < 0; неравенство x³ < 8 имеет решение x < 2.
Ошибка: считать, что при отрицательном x значение xⁿ всегда отрицательно. Так бывает только при нечётном показателе; при чётном минусы объединяются в пары. Проверьте показатель и отдельно вычислите знак результата.
Ошибка: путать симметрию относительно оси y с симметрией относительно начала координат. У чётной функции совпадают значения при x и −x, а у нечётной меняются и абсцисса, и ордината. Для проверки подставьте −x в формулу.
Ошибка: утверждать, что при чётном n функция возрастает на всей числовой прямой. Слева от нуля она убывает, а справа возрастает, потому что сначала уменьшается, а затем увеличивается модуль аргумента. Удобно разделить числовую прямую точкой x = 0.
Ошибка: считать, что все графики y = xⁿ проходят через одни и те же точки. Точки (0; 0) и (1; 1) общие, но при x = −1 получаем 1 для чётного n и −1 для нечётного. Поэтому всегда проверяйте значение в отрицательной точке.
До изучения темы нужно знать смысл степени с натуральным показателем и правила умножения степеней. Без этого трудно объяснить знак и величину выражения xⁿ. Полезно уверенно работать с произведением одинаковых множителей.
Свойства степенной функции опираются на понятия функции, области определения, множества значений, графика и промежутков возрастания или убывания. Эти термины позволяют описывать не только формулу, но и поведение графика. Они встречаются при исследовании многих других функций.
Знание степенных функций пригодится при решении уравнений и неравенств, например x³ = 8 или x⁵ < 32. Позже эти свойства помогут понимать более общие функции и преобразования их графиков. Чётность и симметрия также используются при построении графиков.
Как быстро определить, будет ли функция y = x^n чётной или нечётной?
Посмотрите на показатель n. При чётном n функция чётная, а при нечётном n — нечётная.
Почему график y = x^4 не уходит ниже оси x?
Четвёртая степень любого числа неотрицательна: отрицательное число при возведении в чётную степень даёт положительный результат. Поэтому y = x⁴ принимает значения только из промежутка [0; +∞).
Чем графики y = x^2 и y = x^3 отличаются при отрицательных x?
Для y = x² отрицательный аргумент даёт положительное значение, поэтому левая ветвь расположена выше оси x. Для y = x³ значение остаётся отрицательным, и левая часть графика находится ниже оси x.
Как понять, где степенная функция возрастает, а где убывает?
При нечётном n функция y = xⁿ возрастает на всей числовой прямой. При чётном n она убывает на (-∞; 0] и возрастает на [0; +∞).
Почему график функции y = x^n проходит через точку (1; 1)?
При x = 1 получаем y = 1ⁿ = 1 для любого натурального n. Поэтому точка (1; 1) принадлежит графику каждой такой функции.
§ 4. Функция у = х"
