3.2. Функция у = хn

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число. Здесь x — независимая переменная, а n задаёт показатель степени. Например, при n = 3 получаем y = x³. Это понятие объединяет функции, у которых общий закон изменения, и позволяет изучать их свойства сразу для многих показателей.

Чётная функция — функция, для которой f(−x) = f(x) при всех x из области определения. У графика такой функции есть симметрия относительно оси Oy: каждой точке с координатами (x; y) соответствует точка (−x; y). Это определение помогает быстро определить симметрию и не строить график целиком.

Нечётная функция — функция, для которой f(−x) = −f(x). Её график симметричен относительно начала координат: вместе с точкой (x; y) на графике есть точка (−x; −y). Проверка равенства f(−x) = −f(x) помогает отличить такую симметрию от симметрии относительно оси Oy.

Область определения — все допустимые значения x, а множество значений — все результаты y, которые может принимать функция. Для y = xⁿ область определения — ℝ при любом натуральном n. Если n чётно, множество значений равно [0; +∞), а если n нечётно — ℝ; это различие важно учитывать при построении графика и решении уравнений.

Как это устроено

В выражении xⁿ при натуральном n переменная x возводится в степень, то есть перемножается сама на себя n раз. Для такого действия нет ограничений на знак или величину действительного x: например, можно вычислить и (−2)⁴, и 0⁴, и 1,5³. Поэтому область определения функции совпадает со всей числовой прямой ℝ.

Чтобы определить чётность функции, заменим x на −x. При чётном n минусы в произведении (−x)ⁿ попарно сокращаются, поэтому получается xⁿ; значит, f(−x) = f(x). При нечётном n один минус остаётся, и выходит −xⁿ, то есть f(−x) = −f(x); эти равенства и объясняют симметрию графиков.

При чётном n отрицательные множители тоже составляют пары: например, (−3)⁴ = 81, поэтому отрицательного результата быть не может. При нечётном n после объединения пар остаётся один отрицательный множитель, так что степень отрицательного x отрицательна, а степень положительного x положительна. В обоих случаях x = 0 даёт y = 0, и это единственный нуль функции.

Для построения графика сначала отмечают характерные точки. При любом n подходят (0; 0) и (1; 1), а также, например, (−1; 1) для чётного показателя и (−1; −1) для нечётного; остальные значения можно найти подстановкой x. Затем используют симметрию: для чётной степени отражают точки относительно Oy, для нечётной — относительно начала координат. Соединяют точки плавной линией, учитывая монотонность и то, что график не должен иметь разрывов.

Если n нечётно, с ростом x растёт и xⁿ: порядок чисел сохраняется, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. При чётном n отрицательные x при движении к нулю имеют всё меньший модуль, а их степени уменьшаются до нуля, поэтому слева функция убывает. После нуля модуль x увеличивается, и xⁿ растёт, так что функция возрастает на [0; +∞).

Разница между чётной и нечётной степенью особенно заметна на графиках: y = x² лежит выше оси Ox, а y = x³ проходит через неё из нижней полуплоскости в верхнюю. Для нечётного показателя пары точек располагаются напротив друг друга относительно начала координат, для чётного — на одной высоте по разные стороны оси Oy. На графике видно, что при чётной степени вершина находится в начале координат, а нечётная функция проходит через начало и всё время возрастает.

Свойства функции y = xⁿ

Сначала найдите в таблице строку с нужным свойством, затем выберите столбец по чётности показателя. Например, для y = x⁶ подходит столбец «n чётное», а для y = x⁵ — «n нечётное». Интервалы монотонности записаны вместе с точкой 0, где функция достигает минимума при чётном n.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать функцию y = x⁴: указать область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули и построить график.

1. Показатель 4 чётный, поэтому область определения — ℝ, а функция чётная. Равенство (−x)⁴ = x⁴ показывает, что график симметричен относительно Oy.
2. Четвёртая степень неотрицательна, и равна нулю только при x = 0. Значит, множество значений — [0; +∞), нуль — x = 0, а наименьшее значение равно 0.
3. Функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Для построения отметим (0; 0), (1; 1), (−1; 1), (2; 16), (−2; 16) и плавно соединим точки с учётом симметрии.

Ответ: D(y) = ℝ, E(y) = [0; +∞); функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞); нуль x = 0. График симметричен относительно Oy и имеет минимум в точке (0; 0).

Задача 2. Сравнить значения функций y = x³ и y = x⁵ при x = −2, −1, 0, 1, 2 и сделать вывод о расположении графиков.

1. Вычислим степени для каждого указанного x. При x = −2 получаем −8 и −32, при x = −1 — −1 и −1, при x = 0 — 0 и 0.
2. При x = 1 значения равны 1 и 1, а при x = 2 получаем 8 и 32. Итак, по порядку x значения y = x³: −8, −1, 0, 1, 8; значения y = x⁵: −32, −1, 0, 1, 32.
3. На отрезке между −1 и 1 степени нечётных показателей сохраняют знак x, причём при сравнении этих значений графики встречаются в точках (−1; −1), (0; 0), (1; 1). При x > 1 значение x⁵ больше x³, а при x < −1 — меньше.

Ответ: таблица значений показывает, что график y = x⁵ ниже графика y = x³ при x < −1 и выше при x > 1. На промежутке (−1; 1) порядок обратный: y = x⁵ выше y = x³ при отрицательных x и ниже при положительных x.

Задача 3. Решить уравнение x⁶ = 64 и неравенство x⁵ > −32.

1. В уравнении показатель 6 чётный, а 64 = 2⁶. Оба числа 2 и −2 в шестой степени дают 64, поэтому нужно учесть оба корня.
2. В неравенстве показатель 5 нечётный, значит, функция y = x⁵ возрастает на всей числовой прямой. Сравним правую часть с пятой степенью числа −2: (−2)⁵ = −32.
3. Поскольку возрастающая функция сохраняет порядок, из x⁵ > (−2)⁵ следует x > −2. Строгое неравенство означает, что граничное значение −2 в ответ не входит.

Ответ: уравнение имеет корни x = −2 и x = 2; решение неравенства — x > −2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать y = xⁿ нечётной функцией при любом n. Так бывает, если свойство путают с примерами вроде y = x³ и не проверяют показатель. Подставьте −x: при чётном n получится f(−x) = f(x), а при нечётном — f(−x) = −f(x).

Ошибка: записывать множество значений функции с чётным показателем как ℝ. Это происходит, когда область определения смешивают с множеством значений: x может быть любым, но xⁿ при чётном n не бывает отрицательным. Проверьте ответ подстановкой отрицательного x: степень всё равно окажется положительной или нулевой.

Ошибка: утверждать, что функция с чётным показателем возрастает на всей прямой. Справа от нуля она действительно возрастает, поэтому эту часть свойства иногда переносят на весь график. Сравните значения, например, при x = −2 и x = −1: получим 4 и 1 для квадрата, то есть при движении слева направо функция убывает.

Ошибка: при решении xⁿ = a с чётным n записать только положительный корень. Возникает она из-за того, что при извлечении арифметического корня обычно указывают неотрицательное число. Но уравнение допускает и противоположный корень: проверьте оба числа возведением в степень, например, в x⁴ = 16 корни 2 и −2.

Связь с другими темами

Перед изучением степенной функции полезно повторить свойства степеней с натуральным показателем: без них трудно понять, как знак основания влияет на результат. Нужны также координатная плоскость и способы исследования функций, в частности умение читать график и определять промежутки монотонности. Эти знания помогают не просто вычислять отдельные значения, но и описывать поведение функции в целом.

Дальше свойства y = xⁿ пригодятся при изучении корней и степеней с рациональными показателями. Представление степенной зависимости и её графика помогает понять, как связаны возведение в степень и извлечение корня. При этом для рациональных показателей область определения уже может зависеть от вида показателя.

Степенные функции используются при решении степенных уравнений и неравенств: чётность показателя подсказывает число корней, а монотонность — как преобразовать неравенство. Позднее эти функции будут встречаться при изучении производной, которая позволяет исследовать скорость изменения и монотонность. Поэтому свойства графиков y = xⁿ служат основой для более общего анализа функций.

Что запомнить

• Функция y = xⁿ определена на всей числовой прямой.
• При чётном n функция чётная, а её график симметричен относительно оси Oy.
• При нечётном n функция нечётная, а её график симметричен относительно начала координат.
• При чётном n множество значений — [0; +∞), при нечётном n — вся числовая прямая.
• При чётном n функция убывает до нуля и возрастает после нуля.
• При нечётном n функция возрастает на всей числовой прямой.
• График любой функции y = xⁿ проходит через точки (0; 0) и (1; 1).