3.1. Понятие функции и ее графика

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента из заданной области соответствует единственное значение функции. Аргумент обычно обозначают буквой x, а зависимую величину — буквой y. Это определение позволяет однозначно вычислять результат для каждого допустимого входного значения.

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x. Её обозначают, например, D(f). Она показывает, при каких x формула имеет смысл и функция действительно задана.

Множество значений функции — множество всех значений y, которые принимает функция. Его иногда обозначают E(f). Оно описывает возможные результаты работы функции и помогает понять, какие точки могут появиться на графике по вертикали.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Каждая точка связывает конкретный аргумент с единственным результатом. Поэтому график даёт наглядное представление о зависимости.

Как это устроено

Однозначность — главное свойство функции. Если одному значению x поставить в соответствие два разных числа y₁ и y₂, то нельзя будет определить единственный результат для этого аргумента. Поэтому такое соответствие не является функцией, даже если для остальных значений правило работает однозначно.

Запись y = f(x) означает, что значение y получают применением правила f к аргументу x. Сначала выбирают x из области определения, затем вычисляют f(x), и результат записывают как y. Область определения входит в задание функции, потому что одна и та же формула при разных разрешённых значениях x может задавать разные функции.

Область определения и множество значений зависят не только от внешнего вида формулы, но и от ограничений. Например, в дроби знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение при квадратном корне должно быть неотрицательным. Дополнительное условие задачи тоже может сузить область определения, поэтому ограничения нужно учитывать вместе.

График состоит именно из точек (x; f(x)), потому что каждая точка хранит пару связанных величин: аргумент и результат. Чтобы построить график, выбирают допустимые x, вычисляют соответствующие y и отмечают пары координат. По графику значение функции находят по известному x, а аргумент — по известному y.

Вертикальная прямая фиксирует одно значение x и проверяет, сколько результатов ему соответствует. Если она пересекает кривую в двух или более точках, одному x отвечают разные y, значит, перед нами не график функции y от x. Если любая вертикальная прямая имеет не более одной общей точки с кривой, этот признак подтверждает однозначность.

Основные характеристики функции и её графика

Таблица помогает не смешивать разные характеристики: сначала определите, о какой координате или объекте идёт речь, а затем выберите способ нахождения. При работе с формулой проверяйте ограничения, а при работе с графиком внимательно считывайте координаты точек.

Разбор задач

Задача 1. Каждому числу x из множества {1, 2, 3} сопоставляются числа 4, 5 и 4 соответственно. Требуется определить, является ли это соответствие функцией. Нужно проверить не количество совпадающих результатов, а число результатов для каждого отдельного x.

1. Для x = 1 сопоставлено одно число: 4.
2. Для x = 2 сопоставлено одно число: 5, а для x = 3 — одно число: 4.
3. У разных аргументов могут быть одинаковые значения функции; запрещено только несколько значений для одного и того же аргумента.

Ответ: соответствие является функцией.

Задача 2. Найдём область определения функции y = √(x − 2) / (x − 5). В формуле есть квадратный корень и знаменатель, поэтому нужно одновременно выполнить два ограничения. После этого оставим только значения x, удовлетворяющие обоим условиям.

1. Для корня требуется x − 2 ≥ 0, откуда x ≥ 2.
2. Знаменатель не может обращаться в ноль: x − 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5.
3. Объединяем условия: x принадлежит [2; +∞), но число 5 исключается.

Ответ: D(f) = [2; 5) ∪ (5; +∞).

Задача 3. Построим график функции y = (x − 1)² − 2 и определим значение функции при x = 0, а также x при y = 2. Формула задаёт параболу, поэтому для построения достаточно вычислить несколько пар координат, симметричных относительно прямой x = 1.

1. Получаем точки: при x = 0 y = −1, при x = 1 y = −2, при x = 2 y = −1; можно добавить точки (−1; 2) и (3; 2).
2. Отмечаем точки и соединяем их плавной параболой, ветви которой направлены вверх.
3. При x = 0 график даёт y = −1. Для y = 2 решаем (x − 1)² − 2 = 2, поэтому (x − 1)² = 4 и x = −1 или x = 3.

Ответ: f(0) = −1; при y = 2 аргумент принимает значения x = −1 и x = 3.

Типичные ошибки

Считать функцией любое соответствие. Ошибка возникает, когда смотрят только на наличие связей и не проверяют их однозначность. Проверьте каждый x отдельно: у него должна быть ровно одна пара с y.

Путать область определения и множество значений. Область определения относится к аргументу x, а множество значений — к результату y. Чтобы проверить себя, подпишите оси: всё допустимое по горизонтали — область определения, полученное по вертикали — множество значений.

Забывать ограничения формулы. При этом разрешают деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, потому что механически подставляют значения. Перед вычислениями выпишите условия для каждого знаменателя, корня и другого ограничивающего элемента.

Называть графиком функции любую кривую. Ошибка появляется, если рассматривать рисунок целиком, не фиксируя значение x. Проведите мысленно вертикальные прямые: двойное пересечение означает, что кривая не задаёт функцию y от x.

Связь с другими темами

До изучения функции нужны координатная плоскость, пары чисел, множества и правила преобразования алгебраических выражений. Без этих знаний трудно записывать точки, читать графики и находить допустимые значения переменных.

Понятие функции используется при изучении графиков и их свойств, а также при решении уравнений и неравенств. Графический способ позволяет сравнивать зависимости и находить решения по точкам пересечения.

Позже функции станут основой производной, исследования поведения графиков и математического моделирования. Модели с помощью функций описывают реальные зависимости между величинами.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие ровно одно значение y.
• Запись y = f(x) означает, что y зависит от x.
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Множество значений содержит все значения функции.
• График функции состоит из точек (x; f(x)).
• Вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке.