2.8. Метод интервалов решения неравенств

Определения и обозначения

Метод интервалов — способ решать неравенства, разбивая числовую прямую точками, где выражение равно нулю или не определено, и определяя его знак на каждом промежутке. Например, вместо подстановки множества значений достаточно исследовать несколько участков прямой. Метод особенно удобен для произведений и дробей, разложенных на множители.

Нуль выражения — значение переменной, при котором выражение обращается в нуль. Такие значения находят, приравнивая выражение к нулю или его числитель к нулю. Нуль отмечают на прямой, а в ответ включают только при нестрогом неравенстве и если выражение в этой точке определено.

Критическая точка — нуль выражения или точка, в которой оно не определено. Критические точки отделяют участки, где выражение может иметь разные знаки. Без их отметки легко пропустить смену знака или включить в ответ запрещённое значение переменной.

Кратность корня — число одинаковых множителей, соответствующих корню. Например, корню x = 1 соответствует множитель (x − 1), а если он повторён дважды — (x − 1)². Кратность подсказывает, изменится ли знак при переходе через корень: для нечётной кратности он меняется, для чётной сохраняется.

Как это устроено

Метод опирается на постоянство знака непрерывного выражения на промежутке, где оно не равно нулю. Если бы знак внутри такого промежутка изменился, выражение должно было бы пройти через ноль; это следует из непрерывности. Разрывы и нули поэтому и становятся границами участков, на которых знак исследуют отдельно.

Сначала выражение раскладывают на множители, чтобы увидеть, при каких значениях каждый из них обращается в нуль. В дроби отдельно находят значения, при которых знаменатель равен нулю: они запрещены, даже если числитель там тоже равен нулю. Так составляют полный список точек, способных разделить прямую или исключённых из области определения.

Затем критические точки располагают по возрастанию. Если, например, получились точки −2 и 3, прямая делится на три интервала: от минус бесконечности до −2, от −2 до 3 и от 3 до плюс бесконечности. На каждом из этих участков нет нулей и разрывов выражения, поэтому знак там постоянен.

Чтобы установить знаки, можно подставить по одному удобному числу из каждого интервала. Другой способ — начать с одного участка и переходить через критические точки: нечётный множитель меняет знак, чётный оставляет его прежним. Такой переход экономит вычисления, но требует правильно учесть кратность каждого корня и не путать её с точкой разрыва.

В конце выбирают интервалы, на которых выражение имеет знак, нужный по условию. При ≤ или ≥ можно добавить нули, если они принадлежат области определения; при < или > равенство нулю не подходит. Точки, в которых выражение не определено, всегда остаются исключёнными, даже если рядом с ними выбраны оба соседних интервала.

Как учитывать критические точки при методе интервалов

Таблица помогает решить, что происходит со знаком и границей ответа у каждого типа точки. Для нуля кратность определяет смену знака, а строгость неравенства — включение самого нуля. Точка, где выражение не определено, не может входить в ответ ни при каком знаке неравенства.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)(x + 1) > 0.

Здесь дано произведение двух линейных множителей, и оно положительно, когда множители имеют одинаковые знаки. Найдём места, где произведение может изменить знак, а затем проверим получившиеся участки. Поскольку знак строгий, точки, в которых произведение равно нулю, в ответ не войдут.

1. Приравниваем множители к нулю: x − 2 = 0 даёт x = 2, а x + 1 = 0 даёт x = −1. Эти точки упорядочиваем: −1 и 2.
2. Разбиваем прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞). Проверим знак произведения в удобной точке каждого: при x = −2 получаем положительное значение, при x = 0 — отрицательное, при x = 3 — положительное.
3. Выбираем интервалы, где произведение больше нуля. Точки −1 и 2 исключаем, потому что в них произведение равно нулю, а условие строгое.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство (x − 1)²(x + 3) ≤ 0.

Квадратный множитель неотрицателен и при переходе через свой корень не меняет знак. Линейный множитель меняет знак при переходе через −3, поэтому именно там знак произведения переключается. Условие нестрогое, значит допустимые нули выражения нужно включить.

1. Находим нули: x = 1 — корень кратности 2, а x = −3 — корень кратности 1. Упорядочиваем их: −3 и 1.
2. При x < −3 множитель x + 3 отрицателен, а квадрат положителен, поэтому произведение отрицательно. Между −3 и 1 линейный множитель положителен и квадрат положителен, значит произведение положительно.
3. При x > 1 оба множителя дают положительное произведение. В точке 1 знак не меняется из-за чётной кратности, но само выражение равно нулю; в точке −3 оно также равно нулю.
4. Для условия ≤ 0 берём участок, где выражение отрицательно, и добавляем оба нуля. Между −3 и 1 выражение положительно, поэтому этот промежуток не подходит.

Ответ: (−∞; −3] ∪ {1}.

Задача 3. Решить неравенство ((x − 2)(x + 1))/(x − 3) ≥ 0.

У дроби есть две точки, где числитель обращается в нуль, и отдельное запрещённое значение, где равен нулю знаменатель. Все три точки нужно отметить, потому что знак может меняться у нулей, а область определения разрывается у знаменателя. Проверка интервалов даст знаки дроби, а условие ≥ позволит включить только допустимые нули числителя.

1. Нули числителя: x = 2 и x = −1. Знаменатель обращается в нуль при x = 3, поэтому x = 3 исключаем из области определения. Точки на прямой идут в порядке −1, 2, 3.
2. Проверяем интервалы. При x = −2 дробь отрицательна; при x = 0 положительна; при x = 2,5 отрицательна; при x = 4 положительна. Значит, нужный знак ≥ 0 получаем на втором и четвёртом интервалах.
3. Добавляем нули −1 и 2, поскольку при них знаменатель не равен нулю и дробь равна нулю. Точку 3 не включаем: там знаменатель обращается в нуль.

Ответ: [−1; 2] ∪ (3; +∞).

Типичные ошибки

Забыть отметить нули знаменателя — значит оставить в ответе значение, при котором дробь не существует. Это часто происходит, если ученик находит только корни числителя. Проверь себя: после решения отдельно подставь границы в знаменатель и исключи точки, где он равен нулю.

Включать нули выражения при строгом неравенстве нельзя: знаки > и < требуют положительного или отрицательного значения, а не нуля. Ошибка возникает, когда границы автоматически записывают квадратными скобками. Сверь включение каждой границы с исходным знаком и вычисли значение выражения в этой точке.

При корне чётной кратности знак сохраняется, а не меняется. Обычно ошибаются, механически чередуя знаки между всеми соседними критическими точками. Проверь кратность по разложению на множители: если множитель повторён чётное число раз, по обе стороны корня у него одинаковый знак.

Проверять знак только в одной точке всей прямой недостаточно, потому что после корня нечётной кратности он может измениться. Так можно принять знак на одном участке за знак выражения повсюду. Для самопроверки отметь все критические точки и выясни знак на каждом получившемся интервале — подстановкой или последовательным переходом через границы.

Связь с другими темами

Чтобы применять метод интервалов, нужно уметь раскладывать многочлены на множители и находить корни уравнений. Разложение показывает нули и кратности, а корни задают границы участков на прямой. Для дробных выражений необходимо также учитывать область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в нуль.

Метод используют при решении многочленных и рациональных неравенств. Он помогает исследовать знак выражения, даже если подбирать значения переменной по одному неудобно. Похожая идея — разбить область на части, где поведение выражения не меняется, — встречается и в других задачах на анализ выражений.

Что запомнить

• Критические точки — нули выражения и точки, где оно не определено.
• Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы постоянного знака.
• На каждом интервале достаточно проверить знак в одной точке.
• Через корень нечётной кратности знак меняется.
• Через корень чётной кратности знак сохраняется.
• Нули включают при нестрогом неравенстве, если выражение в них определено.
• Точки, где выражение не определено, в ответ не входят.