2.7. Системы рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором переменные входят в рациональные выражения, например в дроби или многочлены. Знаменатель дроби не может равняться нулю: при таком значении выражение не определено. Поэтому знаменатели сразу подсказывают, какие значения переменных нужно исключить.

Система рациональных уравнений — несколько рациональных уравнений с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Решением системы считается набор значений, подходящий каждому её уравнению. Если пара удовлетворяет только одному уравнению, решением системы она не является.

Область допустимых значений переменных, или ОДЗ, — значения переменных, при которых все знаменатели исходной системы отличны от нуля. Например, в дроби 1/x необходимо условие x ≠ 0. ОДЗ нужна, чтобы на каждом этапе решения не потерять запреты, заданные исходными выражениями.

Постороннее решение — найденный при преобразованиях набор значений, который не подходит исходной системе или не принадлежит её ОДЗ. Он может появиться, если преобразование не было равносильным без дополнительных условий. Такие наборы отбрасывают после проверки, а в ответ включают только допустимые решения.

Как это устроено

До преобразований найдите все ограничения на переменные по знаменателям исходных уравнений. Для каждого знаменателя запишите условие, что он не равен нулю, а затем объедините условия в ОДЗ системы. Это необходимо потому, что при нулевом знаменателе исходное уравнение не имеет смысла, даже если дальнейшие преобразования выглядят корректно.

Чтобы избавиться от знаменателей, уравнение умножают на общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый знаменатель дробей. Например, из уравнения 1/x + 1/y = 3 при xy ≠ 0 после умножения на xy получаем y + x = 3xy. Умножение сохраняет равносильность только при xy ≠ 0, поэтому исходное ограничение x ≠ 0, y ≠ 0 нельзя забывать.

Преобразование одного уравнения влияет на систему: её решения должны одновременно удовлетворять и ему, и остальным уравнениям. Если заменить уравнение равносильным, множество решений системы сохраняется; если же шаг допускает новые значения или теряет прежние, состав кандидатов может измениться. Поэтому проверяйте условия, при которых выполнен каждый шаг, и не меняйте остальные уравнения без необходимости.

Если одно уравнение позволяет выразить переменную, подставьте полученное выражение в другое. Так вместо системы можно получить уравнение с одной переменной, решить его, а затем восстановить вторую переменную и проверить ОДЗ. Иногда удобнее ввести новую переменную: например, обозначить 1/x через u, а 1/y через v, если эти дроби повторяются в системе.

После решения преобразованной системы подставьте каждую найденную пару именно в исходные уравнения. Проверьте сразу две вещи: все выражения определены и все равенства верны. Эта проверка нужна, поскольку преобразования могли дать посторонний набор или условие исходного знаменателя могло исключить найденное значение.

Приёмы решения рациональных систем

Используйте таблицу как ориентир: сначала выберите приём по виду системы, затем выполните действие и проверьте ограничения. Ни один приём не отменяет ОДЗ исходных уравнений. Если преобразование может изменить множество кандидатов, особенно внимательно проверьте ответ подстановкой.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему: 1/x + 1/y = 3; x + y = 2. В первом уравнении знаменатели требуют x ≠ 0 и y ≠ 0. Второе уравнение сразу даёт сумму, поэтому удобно привести дроби к общему знаменателю, не вводя лишние переменные.

1. Запишем ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0. Первое уравнение равносильно (x + y)/(xy) = 3 при этих ограничениях.

2. Подставим x + y = 2: 2/(xy) = 3, откуда xy = 2/3. Значит, x и y имеют сумму 2 и произведение 2/3.

3. Составим квадратное уравнение для этих чисел: t² − 2t + 2/3 = 0. Его корни равны 1 + √3/3 и 1 − √3/3, поэтому возможны две перестановки значений x и y.

4. Оба числа ненулевые, а их сумма и произведение дают исходные равенства. Следовательно, обе пары допустимы.

Ответ: (1 + √3/3; 1 − √3/3), (1 − √3/3; 1 + √3/3).

Задача 2. Решить систему: (x + y)/(x − y) = 3; x + y = 8. Знаменатель первой дроби не должен обращаться в ноль, поэтому x ≠ y. Второе уравнение задаёт сумму, которую можно использовать в числителе, а первое после этого упростится.

1. Запишем ограничение x − y ≠ 0, то есть x ≠ y. По второму уравнению x + y = 8.

2. Из первого уравнения получаем 8/(x − y) = 3, поэтому x − y = 8/3. Деление допустимо, так как знаменатель исходной дроби не равен нулю.

3. Решим систему x + y = 8, x − y = 8/3. Складывая уравнения, получим 2x = 32/3, откуда x = 16/3; тогда y = 8/3.

4. Проверим ограничение: 16/3 ≠ 8/3. Сумма равна 8, а отношение суммы к разности равно 8/(8/3) = 3.

Ответ: (16/3; 8/3).

Задача 3. Решить систему: 1/x + 1/y = 5/6; 1/x − 1/y = 1/6. Здесь повторяются дроби 1/x и 1/y, поэтому вместо громоздких преобразований удобно обозначить их новыми переменными. При этом нужно сохранить условие, что x и y не равны нулю.

1. Запишем ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0. Введём u = 1/x и v = 1/y; тогда система принимает вид u + v = 5/6, u − v = 1/6.

2. Сложим уравнения: 2u = 1, значит, u = 1/2. Вычтем второе уравнение из первого: 2v = 4/6, поэтому v = 1/3.

3. Выполним обратную замену: 1/x = 1/2, откуда x = 2; 1/y = 1/3, откуда y = 3. Оба значения ненулевые, значит, обратная замена допустима.

4. Подстановка даёт 1/2 + 1/3 = 5/6 и 1/2 − 1/3 = 1/6. Оба исходных уравнения выполнены.

Ответ: (2; 3).

Типичные ошибки

Умножение на знаменатель без условия, что он ненулевой. Так поступают, потому что умножение кажется обычным упрощением, но при нулевом знаменателе исходная дробь не определена. Перед умножением выпишите ОДЗ, а в конце проверьте, что найденные значения ей соответствуют.

Сокращение дробей без учёта сокращаемого выражения. После сокращения может исчезнуть множитель, который способен быть равен нулю; тогда исходное выражение и упрощённое ведут себя по-разному. Запишите условие ненулевого множителя и проверьте, не потеряны ли из-за сокращения допустимые значения.

Принятие решений преобразованной системы без проверки. Некоторые преобразования дают кандидатов, не подходящих исходным дробям или уравнениям. Это происходит, когда забывают ОДЗ или используют шаг, который не является равносильным без дополнительных условий. Подставьте каждую пару в исходную систему и отбросьте неподходящие.

Проверка уравнений по отдельности без проверки одной и той же пары. Можно найти значения, подходящие разным уравнениям, но не образующие общего решения системы. Решение должно быть одним набором значений для всех переменных, причём он должен одновременно удовлетворять каждому уравнению. Подставляйте одну и ту же пару во все уравнения.

Связь с другими темами

Для решения систем нужно уметь находить ОДЗ рационального выражения, преобразовывать дроби и решать линейные системы. Эти навыки помогают упростить уравнения, не нарушая ограничений. Подстановка и замена переменной связывают тему с равносильными преобразованиями уравнений. Те же приёмы пригодятся при составлении рациональных уравнений и систем по условиям задач.

Что запомнить

• Система требует одновременного выполнения всех входящих в неё уравнений.
• Ограничения на переменные определяют по знаменателям исходной системы.
• Нулевой знаменатель недопустим.
• При умножении на общий знаменатель ограничения нужно сохранять.
• Подстановка помогает свести систему к более простым уравнениям.
• Каждую найденную пару проверяют в исходной системе.
• В ответ включают только допустимые решения.