§ 9. Системы рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестные входят в рациональные выражения, например в дроби. Знаменатель показывает, какие значения переменной запрещены: делить на ноль нельзя. Поэтому ограничения на неизвестные нужно учитывать ещё до преобразований.

Система рациональных уравнений — несколько рациональных уравнений с общими неизвестными. Её решением называют такую пару значений, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению. Одного верного равенства недостаточно: проверять нужно всю систему.

ОДЗ системы — множество значений неизвестных, при которых все знаменатели исходных уравнений отличны от нуля. Например, если в знаменателях стоят x и y, то требуется x ≠ 0 и y ≠ 0. ОДЗ помогает сразу отделить допустимые значения от тех, которые нельзя подставлять.

Равносильные системы — системы с одним и тем же множеством решений. Преобразование полезно, если оно упрощает уравнения, но не меняет их решений. Если равносильность не сохраняется на всей области значений, нужно отдельно проверять результат.

Как это устроено

Сначала находят ограничения на неизвестные по знаменателям исходных уравнений. Причина проста: при нулевом знаменателе выражение не имеет значения, а значит, исходное равенство нельзя считать выполненным. Например, дроби 1/x и 1/y требуют x ≠ 0 и y ≠ 0. Эти условия записывают до любых преобразований и сохраняют до конца решения.

Чтобы убрать дроби, уравнение можно умножить на общий знаменатель. На ОДЗ этот множитель не равен нулю, поэтому умножение не теряет и не добавляет решений в допустимой области. Если же умножить на выражение, которое может обратиться в ноль, преобразование без дополнительных рассуждений не гарантирует равносильность. Поэтому нельзя забывать исходные ограничения, даже когда знаменатели исчезли.

Другой способ — выразить одну неизвестную через другую из более простого уравнения. Полученное выражение подставляют во второе уравнение, и вместо системы получают уравнение с одной неизвестной. Этот путь удобен, например, когда одно уравнение линейное и переменную из него легко выразить. Найденное значение затем используют, чтобы восстановить вторую неизвестную.

Преобразованная система может иметь решения, которых не было в исходной. Такое происходит, если при умножении потеряли из виду запрет на нулевой знаменатель или выполнили шаг, не сохраняющий равносильность. Поэтому каждую найденную пару подставляют именно в исходные уравнения, а не только в упрощённые. Пара остаётся в ответе, только если все равенства верны и все знаменатели ненулевые.

Иногда дроби удобно выразить через сумму и произведение неизвестных. Например, 1/x + 1/y = (x + y)/(xy), если xy ≠ 0, а x/y + y/x = ((x + y)² − 2xy)/(xy). Если сумма x + y уже известна, первое равенство помогает найти произведение xy. Затем неизвестные можно найти как корни уравнения, составленного по их сумме и произведению.

Основные шаги решения системы рациональных уравнений

Используйте таблицу как план: переходите к следующему этапу, когда выполнены условия предыдущего. Для каждой задачи способ преобразования выбирайте по виду уравнений: иногда проще убрать знаменатели, иногда — выразить неизвестную. В конце обязательно вернитесь к исходной записи и проверьте пары.

Разбор задач

Задача 1

Решить систему: (x + 1)/y = 2, (y + 1)/x = 2. Здесь неизвестные стоят в знаменателях, поэтому сначала отметим допустимые значения. После умножения на знаменатели получим линейную систему, но ответ всё равно проверим в исходной записи.

1. ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0.
2. Умножим первое уравнение на y, второе — на x: x + 1 = 2y и y + 1 = 2x.
3. Из первого равенства x = 2y − 1. Подставим во второе: y + 1 = 2(2y − 1), откуда 3y = 3, y = 1 и x = 1.
4. Проверка: обе дроби равны 2, а знаменатели равны 1 и не равны нулю.

Ответ: (1; 1).

Задача 2

Решить систему: x + y = 7, 1/x + 1/y = 7/10. Во втором уравнении удобно сложить дроби, потому что сумма x + y уже дана. Так мы сведём задачу к поиску произведения xy, а затем найдём сами числа.

1. ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: 1/x + 1/y = (x + y)/(xy).
3. Подставим x + y = 7: 7/(xy) = 7/10, поэтому xy = 10.
4. Искомые числа имеют сумму 7 и произведение 10. Составим уравнение t² − 7t + 10 = 0; его корни 2 и 5.
5. Проверка: пары (2; 5) и (5; 2) дают сумму 7 и сумму обратных чисел 1/2 + 1/5 = 7/10; нулевых знаменателей нет.

Ответ: (2; 5), (5; 2).

Задача 3

Решить систему: x + y = 6, x/y + y/x = 5/2. Здесь каждую дробь можно привести к знаменателю xy, а числитель записать через сумму x + y и произведение xy. Это позволит сначала найти произведение, а потом восстановить значения переменных.

1. ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0, значит, xy ≠ 0.
2. Сложим дроби: x/y + y/x = (x² + y²)/(xy) = ((x + y)² − 2xy)/(xy).
3. Подставим x + y = 6: (36 − 2xy)/(xy) = 5/2. Умножая на 2xy, получим 72 − 4xy = 5xy, поэтому xy = 8.
4. Числа x и y имеют сумму 6 и произведение 8. Уравнение t² − 6t + 8 = 0 имеет корни 2 и 4.
5. Обе пары (2; 4) и (4; 2) подходят: сумма равна 6, дробное выражение равно 2/4 + 4/2 = 5/2, знаменатели ненулевые.

Ответ: (2; 4), (4; 2).

Типичные ошибки

Не находить ОДЗ до преобразований. После избавления от знаменателей могут появиться значения, запрещённые исходной записью. Часто кажется, что исчезнувший знаменатель больше не важен, но его нулевые значения по-прежнему исключены. Проверьте себя: выпишите отдельно условия для каждого исходного знаменателя.

Умножать на выражение, которое может быть нулём, и считать шаг равносильным. При умножении на ноль из равенства может получиться верное равенство, которое не возвращает исходное условие. Ошибка возникает, если не проверять, может ли множитель обращаться в ноль. Уточните его знак или выпишите отдельный случай, а затем сравните решения с исходным уравнением.

Считать решением пары, подходящие только одному уравнению. В системе каждое равенство должно выполняться одновременно, но при вычислениях легко остановиться после первого. Проверьте каждую пару отдельно в обоих уравнениях. Если хотя бы одно равенство неверно, эта пара не является решением системы.

Не проверять найденные пары в исходной системе. Упрощённые уравнения могут допускать значения, которые не подходят исходным дробям. Так происходит, например, когда забывают запрет на нулевой знаменатель. Подставьте каждую пару в первоначальные уравнения и убедитесь, что знаменатели ненулевые и все равенства верны.

Связь с другими темами

Для решения этих систем нужны умение находить ОДЗ рационального уравнения, складывать и сокращать дроби, а также решать линейные уравнения. Ещё понадобится навык решения систем линейных уравнений: после избавления от знаменателей некоторые задачи сводятся именно к ним. Приёмы с суммой и произведением связывают тему с квадратными уравнениями.

Этот материал продолжает изучение систем уравнений и расширяет его на случаи, когда неизвестные входят в знаменатели. Навык сохранять ограничения и проверять результат пригодится при решении более сложных систем и уравнений с дробями. Он помогает отличать допустимые решения от тех, которые появились только после преобразований.

Что запомнить

• Система требует одновременного выполнения всех входящих в неё уравнений.
• ОДЗ находят по знаменателям исходной системы.
• Нулевые значения знаменателей исключают из рассмотрения.
• При умножении на знаменатели нужно учитывать ОДЗ.
• Решение преобразованной системы ещё нужно проверить.
• В ответ включают только пары, удовлетворяющие исходной системе.