2.6. Рациональные уравнения

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. К ним относятся многочлены, например x² − 3x + 1, и дроби, у которых числитель и знаменатель — многочлены. Переменная может находиться и в знаменателе, поэтому не всякое значение подходит для подстановки. Определение помогает понять, почему при решении нужно следить за знаменателями.

ОДЗ рационального уравнения — множество значений переменной, при которых все знаменатели уравнения отличны от нуля. Например, для дроби 1/(x − 2) условие имеет вид x ≠ 2. ОДЗ показывает, какие значения можно рассматривать в уравнении с самого начала. Она нужна, чтобы не включить в ответ значение, при котором одна из дробей не определена.

Корень рационального уравнения — значение переменной из ОДЗ, которое обращает уравнение в верное равенство. Значение должно одновременно быть допустимым и подходить обеим частям уравнения. Например, найденное решение целого уравнения ещё не обязательно является корнем исходного. Это определение подсказывает, что после вычислений нужно отбирать и проверять результаты.

Посторонний корень — значение, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Так бывает, если преобразование допустило значение, при котором исходная дробь не существует, или изменило множество решений. Посторонний корень нельзя включать в ответ, даже если он подходит уравнению после преобразования. Чтобы его обнаружить, сравнивают кандидаты с ОДЗ и подставляют их в исходное уравнение.

Как это устроено

ОДЗ находят до преобразований, потому что область определения задаётся самим исходным уравнением. Если знаменатель обращается в ноль, соответствующая дробь не имеет значения, а значит, равенство вообще нельзя проверить. Позднее такое ограничение может стать незаметным: после умножения знаменатели исчезнут из записи. Поэтому сначала каждый знаменатель приравнивают к нулю и исключают найденные значения.

Чтобы превратить рациональное уравнение в целое, находят общий знаменатель и умножают на него обе части. Тогда дроби сокращаются с соответствующими множителями, и остаётся уравнение без знаменателей. Такое преобразование равносильно исходному, если рассматривать только значения из ОДЗ: общий знаменатель для них не равен нулю, поэтому на него можно умножать и делить. Это условие связывает преобразование с найденными ограничениями.

Посторонние корни могут появиться, если забыть об ОДЗ при умножении на общий знаменатель. Вне ОДЗ этот знаменатель может стать нулём, и равенство после умножения уже не обязательно эквивалентно исходному: при нулевом множителе обе части могут совпасть. Полученное целое уравнение иногда принимает такие значения, хотя исходные дроби при них не определены. Поэтому найденные корни всегда сопоставляют с исходными запретами.

После избавления от знаменателей решают полученное целое уравнение привычными способами: раскрывают скобки, переносят слагаемые, приводят подобные и используют подходящий метод решения. Затем из всех его корней оставляют только те, которые входят в ОДЗ. Это не формальность: корнем исходного уравнения может быть лишь допустимое значение. Если все найденные значения запрещены, уравнение не имеет корней.

Подстановка в исходное уравнение нужна, чтобы подтвердить результат именно для первоначального равенства, а не только для его преобразованной версии. Это особенно полезно после сокращения дробей или умножения на выражение, которое могло обращаться в ноль. При проверке убеждаются, что выражения определены и левая часть равна правой. Если равенство не выполняется, значение исключают из ответа.

Основные этапы решения рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к умножению, пока не выписаны ограничения, и не заканчивай решение сразу после нахождения корней целого уравнения. Проверка в последней строке относится к исходному равенству. Так ты не потеряешь ограничения и не включишь постороннее значение в ответ.

Разбор задач

Решить уравнение 3/(x − 1) = 2

Здесь знаменатель только один, поэтому сначала исключим значение, которое его обращает в ноль. На всех остальных значениях можно умножить обе части на x − 1. После этого дробь исчезнет и останется линейное уравнение.

1. Найдём ОДЗ: x − 1 ≠ 0, значит, x ≠ 1.
2. Умножим обе части на x − 1: 3 = 2(x − 1).
3. Раскроем скобки и решим: 3 = 2x − 2, откуда 2x = 5 и x = 5/2.
4. Проверим допустимость: 5/2 ≠ 1. Подстановка даёт 3/(5/2 − 1) = 2, равенство верно.

Ответ: x = 5/2. ОДЗ позволила сразу исключить значение, при котором исходная дробь не определена. Найденный корень этому ограничению не противоречит.

Решить уравнение 1/x + 1/(x − 2) = 1

В уравнении два знаменателя, и каждый задаёт ограничение на x. Общий знаменатель — x(x − 2), поэтому умножим на него обе части. Затем решим квадратное уравнение и отдельно сверим оба корня с запретами.

1. Найдём ОДЗ: x ≠ 0 и x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 0, 2.
2. Умножим равенство на x(x − 2): (x − 2) + x = x(x − 2).
3. Приведём подобные и перенесём всё в одну часть: 2x − 2 = x² − 2x, значит, x² − 4x + 2 = 0.
4. Решим квадратное уравнение: x = (4 ± √8)/2 = 2 ± √2.
5. Ни одно из чисел 2 ± √2 не равно 0 или 2. Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: x = 2 − √2 или x = 2 + √2. Оба значения принадлежат ОДЗ, поэтому ни один корень отбрасывать не нужно. Проверка также показывает, что обе дроби при этих значениях определены.

Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3/(x² − 4)

Знаменатель справа раскладывается на множители: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Это позволяет увидеть оба запрещённых значения и выбрать общий знаменатель. После умножения получим квадратное уравнение; в конце проверим, не совпали ли его корни с запретами.

1. Найдём ОДЗ: x − 2 ≠ 0 и x + 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2, −2.
2. Умножим обе части на (x − 2)(x + 2): (x + 1)(x + 2) = 3.
3. Раскроем скобки и перенесём слагаемые: x² + 3x + 2 = 3, значит, x² + 3x − 1 = 0.
4. Найдём корни: x = (−3 ± √13)/2. Ни один из них не равен 2 или −2.
5. Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство для обоих допустимых значений.

Ответ: x = (−3 − √13)/2 или x = (−3 + √13)/2. Умножение не добавило в ответ запрещённые значения, поскольку оба найденных корня входят в ОДЗ. Проверка в исходном уравнении завершает решение.

Типичные ошибки

Не найти ОДЗ до преобразований — значит забыть, что исходные дроби могут не существовать при отдельных значениях x. Эту ошибку допускают, когда сразу стремятся убрать знаменатели. Тогда запрещённое значение может показаться корнем полученного уравнения. Проверь себя: выпиши нули всех исходных знаменателей до вычислений.

Сокращать дробь, не учитывая нули сокращаемого множителя, тоже опасно. Например, сокращение на x превращает x/x в 1, но исходная дробь при x = 0 не определена. Сокращение упрощает запись, однако не добавляет исключённое значение обратно в область определения. Сохрани ограничение в ОДЗ и проверь, не попал ли сокращённый множитель в ноль.

Умножать на общий знаменатель, не проверяя, может ли он обратиться в ноль, — значит не обосновать равносильность преобразования. Ученик видит, что дроби исчезли, и забывает, что умножение на ноль не позволяет восстановить исходное равенство. На ОДЗ общий знаменатель ненулевой, поэтому сначала выпиши ограничения, а затем выполняй умножение. Это простая проверка, которая сохраняет правильный ход решения.

Оставлять все корни полученного уравнения без проверки нельзя: часть из них может быть запрещена ОДЗ. Обычно ошибка возникает, когда решение прекращают после нахождения корней целого уравнения. Сверь каждое значение с ограничениями и подставь оставшиеся в исходное равенство. В ответ включай только те, для которых выражения определены и равенство верно.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужно уметь находить область определения дробного выражения: именно так устанавливают запреты для знаменателей. Также пригодятся преобразования многочленов — раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, — поскольку после умножения на общий знаменатель обычно получается целое уравнение. Умение решать такие уравнения позволяет завершить вычисления.

Рациональные уравнения возникают в задачах, где зависимость величин выражена дробями, например через отношение величин или производительность. При решении прикладной задачи найденные значения дополнительно соотносят с её условиями. Эта тема также подготавливает к рациональным неравенствам: в них нужно учитывать нули числителя и знаменателя и допустимые значения переменной.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Знаменатель не может быть равен нулю.
• Общий знаменатель помогает избавиться от дробей.
• После умножения реши полученное целое уравнение.
• Корни, не принадлежащие ОДЗ, исключи.
• Проверяй оставшиеся значения в исходном уравнении.