§ 26. Рациональные уравнения

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональные выражения могут содержать числа, переменные, действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Переменная в таком уравнении может находиться в знаменателе.

Дробно-рациональное уравнение — рациональное уравнение, содержащее дроби с переменной в знаменателе. Например, 1/x + 2/(x − 3) = 5 — дробно-рациональное уравнение. Для его решения нужно учитывать значения, при которых знаменатели становятся нулевыми.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых выражения уравнения имеют смысл. В дробно-рациональном уравнении каждый знаменатель должен быть не равен нулю. ОДЗ заранее показывает значения, которые нельзя включать в ответ.

Посторонний корень — значение, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Обычно оно нарушает ОДЗ или не проходит подстановку в первоначальное равенство. Поэтому найденные корни проверяют до записи окончательного ответа.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что дробь с нулевым знаменателем не определена. Если, например, знаменатель равен x − 2, то значение x = 2 сразу исключается. Преобразования можно выполнять только для тех значений, при которых исходное уравнение имеет смысл.

Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель. Это действие сохраняет равносильность, если общий знаменатель на ОДЗ не равен нулю, ведь умножение на ненулевое число не меняет равенство. Умножать нужно каждый член и левой, и правой части.

Общий знаменатель выбирают после разложения знаменателей на множители. В него включают каждый различный множитель, который встречается хотя бы в одном знаменателе, причём с наибольшей нужной степенью. Например, для знаменателей x − 1 и (x − 1)(x + 2) общим знаменателем будет (x − 1)(x + 2).

После умножения дроби сокращаются, и чаще всего получается целое уравнение: линейное или квадратное. Его решают известными способами, но найденные значения пока считают только кандидатами в корни. Затем их сравнивают с ОДЗ, потому что исходное уравнение могло быть не определено при некоторых из них.

Иногда после избавления от дробей получается тождество, например 0 = 0, или противоречие, например 0 = 5. В первом случае решениями являются все значения из ОДЗ, а во втором решений нет. Ограничения ОДЗ сохраняются в обоих случаях и не позволяют вернуть запрещённые значения.

Порядок решения дробно-рационального уравнения

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: переходите к следующему этапу только после выполнения предыдущего. Особенно внимательно выполняйте первый и последний шаги, поскольку именно они защищают от запрещённых и посторонних корней. Если после преобразований получилось тождество или противоречие, также учитывайте найденную ОДЗ.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3.

Переменная стоит в знаменателе, поэтому начнём с ограничения. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, x ≠ 2. После этого можно умножить обе части на x − 2.

1. ОДЗ: x − 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2.
2. Умножаем на x − 2: x + 1 = 3(x − 2).
3. Раскрываем скобки: x + 1 = 3x − 6, откуда 2x = 7 и x = 7/2.
4. Число 7/2 не равно 2, значит, ОДЗ не нарушена.

Ответ: x = 7/2.

Задача 2. Решить уравнение 1/x + 1/(x − 2) = 1.

Здесь два знаменателя, поэтому нужно исключить два значения и найти общий знаменатель. Для x ≠ 0 и x ≠ 2 общим знаменателем будет x(x − 2). После умножения получится квадратное уравнение.

1. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2.
2. Умножаем на x(x − 2): (x − 2) + x = x(x − 2).
3. Получаем 2x − 2 = x² − 2x, или x² − 4x + 2 = 0.
4. По формуле корней x = (4 ± √(16 − 8))/2 = 2 ± √2.
5. Оба числа не равны 0 и 2, поэтому подходят.

Ответ: x = 2 − √2; x = 2 + √2.

Задача 3. Решить уравнение 2/(x − 1) + 1/(x + 1) = 1.

Сначала исключим значения, обнуляющие знаменатели: x ≠ 1 и x ≠ −1. Общий знаменатель равен (x − 1)(x + 1), поэтому после умножения дроби исчезнут. Останется квадратное уравнение, корни которого нужно сравнить с ОДЗ.

1. ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1.
2. Умножаем на (x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + (x − 1) = (x − 1)(x + 1).
3. После упрощения: 3x + 1 = x² − 1, значит, x² − 3x − 2 = 0.
4. Корни: x = (3 ± √17)/2.
5. Оба найденных значения не равны 1 и −1, следовательно, они проходят проверку по ОДЗ.

Ответ: x = (3 − √17)/2; x = (3 + √17)/2.

Типичные ошибки

Не находить ОДЗ до преобразований. Так можно включить в ответ значение, при котором знаменатель равен нулю. Проверьте каждый знаменатель исходного уравнения ещё до умножения.

Умножать не каждый член уравнения. Если общий знаменатель применить только к одной части или пропустить слагаемое, получится другое равенство. После умножения мысленно поставьте общий множитель перед каждым членом обеих частей.

Сокращать на выражение, которое может быть равно нулю. Сокращение на x − a допустимо только при условии x ≠ a. Сверьте такое условие с ОДЗ и не удаляйте его после сокращения.

Считать все корни преобразованного уравнения подходящими. Среди них может оказаться значение, запрещённое исходными знаменателями. Сначала сравните корни с ОДЗ, а затем при сомнении подставьте их в исходное уравнение.

Связь с другими темами

До изучения рациональных уравнений нужно уметь определять, при каких значениях дробь не имеет смысла, раскладывать многочлены на множители и решать линейные и квадратные уравнения. Эти навыки составляют основу алгоритма: они помогают найти ОДЗ, общий знаменатель и решить результат после освобождения от дробей.

Дальше рациональные уравнения пригодятся при изучении рациональных неравенств. Они также помогают составлять уравнения для текстовых задач, связанных со скоростью, производительностью, совместной работой и движением.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Общий знаменатель должен содержать все множители знаменателей.
• Умножай на общий знаменатель каждый член обеих частей уравнения.
• Полученное уравнение решай с учётом ограничений исходного.
• Каждый найденный корень проверь по ОДЗ и исходному уравнению.