"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратное уравнение можно решить по общей формуле, если сначала определить его коэффициенты и вычислить дискриминант D = b² − 4ac. Знак D сразу показывает, сколько действительных корней получится: два, один или ни одного. Затем значения подставляют в формулу x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). Умение пользоваться этой формулой помогает решать уравнения, раскладывать трёхчлены на множители и исследовать задачи, где неизвестное входит во второй степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Здесь x — неизвестное, а его наибольшая степень равна двум. Стандартный вид помогает сразу увидеть нужные числа и применить общий способ решения.
Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c: a называют первым коэффициентом, b — вторым, c — свободным членом. Они стоят при x², при x и отдельно от x соответственно. По этим числам вычисляют дискриминант и находят корни.
Дискриминант — число D = b² − 4ac, которое определяет количество действительных корней квадратного уравнения. Чтобы его найти, возводят b в квадрат и вычитают произведение 4ac. Знак D подсказывает, какую формулу использовать и сколько решений записать.
Формула корней квадратного уравнения: x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a), её применяют при D ≥ 0. Знак ± означает, что нужно отдельно взять плюс и минус перед √D. Формула даёт значение или значения x, при которых левая часть уравнения равна нулю.
Перед использованием формулы уравнение приводят к виду ax² + bx + c = 0, потому что именно для такого расположения членов выведена формула. Все слагаемые переносят в одну сторону, приводят подобные и записывают уравнение в стандартном порядке. Затем проверяют a ≠ 0: если коэффициент при x² равен нулю, уравнение уже не квадратное и способ не подходит.
Формулу можно получить, преобразуя общее уравнение. Сначала обе части делят на a, затем переносят свободный член и дополняют выражение с x до полного квадрата: к обеим частям добавляют квадрат половины коэффициента при x. После выделения квадрата извлекают корень и выражают x; подкоренное выражение после упрощения связано с b² − 4ac. Поэтому в формуле появляются −b, √D и знаменатель 2a.
Знак D показывает, можно ли извлечь из него квадратный корень в действительных числах и сколько значений получится. Если D > 0, √D положителен, поэтому варианты с плюсом и минусом различаются: есть два корня. Если D = 0, оба варианта совпадают и дают один корень. Если D < 0, действительного числа, квадрат которого равен D, нет, поэтому действительных корней уравнение не имеет.
Знак ± нельзя считать одним знаком или пропускать: формула содержит два варианта. Для первого корня в числителе записывают −b + √D, для второго — −b − √D; оба результата делят на 2a. Если D = 0, эти варианты совпадают, поэтому достаточно записать одно значение.
Подстановка корней в исходное уравнение нужна, чтобы убедиться, что вычисления и знаки не перепутаны: при верном корне левая часть равна нулю. Есть и дополнительная проверка по теореме Виета: сумма корней должна равняться −b/a, а произведение — c/a. Проверка не заменяет решение, но помогает обнаружить арифметическую ошибку.
| Условие | Вид формулы | Количество действительных корней | Что записать в ответ |
|---|---|---|---|
| D > 0 | x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a) | Два различных корня | x₁ и x₂ |
| D = 0 | x = −b/(2a) | Один корень | x |
| D < 0 | Формула с √D не даёт действительных значений | Действительных корней нет | ∅ или «корней нет» |
Сначала вычисли D, а затем найди в таблице подходящую строку. Если D положителен, не забудь записать оба значения из формулы; при нулевом D укажи один корень. Отрицательный дискриминант означает, что в действительных числах решений нет.
Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому можно сразу определить коэффициенты. Здесь a = 2, b = −5, c = −3; сначала найдём D, чтобы понять, сколько корней ожидать. Поскольку дискриминант окажется положительным, применим обе части формулы с ±.
Ответ: 3 и −1/2. Например, при x = 3 левая часть равна 18 − 15 − 3 = 0, а при x = −1/2 — 1/2 + 5/2 − 3 = 0. Значит, оба найденных значения подходят.
Здесь a = 3, b = 12, c = 12. Проверим дискриминант: если он равен нулю, два знака в формуле дадут одинаковый результат. Поэтому в ответе будет одно значение, а не два различных корня.
Ответ: −2. Нулевой дискриминант означает, что корни, вычисленные со знаками плюс и минус, совпали бы. Поэтому достаточно указать одно значение.
Определяем коэффициенты: a = 4, b = −2, c = 5. Особое внимание уделим знаку произведения 4ac: все три числа 4, a и c положительны, значит, это слагаемое вычитается. Если D окажется отрицательным, извлекать из него корень для поиска действительных решений не нужно.
Ответ: действительных корней нет. Формулу с √D для получения действительных значений здесь не применяем. Это не ошибка в решении: отрицательный дискриминант и означает отсутствие действительных корней.
Ошибка в определении коэффициентов — например, число при x принимают за свободный член или пропущенный коэффициент считают неизвестным. Так бывает, когда не привести уравнение к стандартному виду или читать его не по членам. Выпиши рядом a, b и c, помня, что свободный член не содержит x, а пропущенный коэффициент равен нулю.
При вычислении D часто забывают, что отрицательный b нужно возводить в квадрат в скобках, либо ошибаются в знаке 4ac. Например, (−5)² = 25, а не −25; если ac отрицательно, вычитание 4ac превращается в сложение. Проверяй вычисление по частям и отдельно записывай подстановку коэффициентов в формулу.
Иногда забывают разделить числитель на 2a или записывают только вариант с плюсом. Причина — попытка выполнить все действия сразу, не разбивая формулу на шаги. Запиши знаменатель целиком, затем отдельно выражения для x₁ и x₂; в конце проверь, что оба значения рассчитаны.
При D < 0 нельзя считать, что формула даёт действительный корень, и нельзя записывать √D как действительное число. Эту ошибку допускают, если не проверяют знак дискриминанта перед извлечением корня. Сначала сравни D с нулём и при отрицательном значении сразу укажи, что действительных корней нет.
Для решения пригодятся преобразования многочленов, действия с дробями, извлечение квадратного корня и формулы сокращённого умножения. Тема продолжает изучение разложения квадратного трёхчлена на множители: зная корни, трёхчлен можно представить в виде произведения. Теорема Виета даёт ещё один способ проверить связь корней с коэффициентами. Позже формулы корней используют при решении квадратных неравенств, исследовании функций и прикладных задач.
Почему коэффициент a не может быть равен нулю?
Если a = 0, член ax² исчезает, и уравнение становится линейным или ещё более простым. Оно уже не является квадратным, а формула корней квадратного уравнения к нему неприменима.
Что делать, если в уравнении отсутствует член с x или свободный член?
Запиши уравнение в стандартном виде и считай коэффициент пропущенного члена равным нулю. Например, в x² − 9 = 0 коэффициенты a = 1, b = 0, c = −9.
Почему при D = 0 записывают один корень, а не два одинаковых?
При D = 0 квадратный корень из дискриминанта равен нулю, поэтому оба выражения с плюс-минус дают одно значение. В ответе обычно указывают один корень: x = −b/(2a).
Можно ли решать квадратное уравнение по формуле, не вычисляя дискриминант отдельно?
Можно сразу подставить коэффициенты в формулу корней, но под знаком корня всё равно будет выражение b² − 4ac. Отдельное вычисление D удобнее: оно помогает не перепутать число корней и проверить вычисления.
Как проверить, что найденные корни правильные?
Подставь каждый найденный корень вместо x в исходное уравнение и выполни вычисления. Если левая часть обращается в ноль для каждого корня, решение верно.
§ 25. Формулы корней квадратных уравнений
