§ 24. Основные понятия

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c называют свободным членом. Такой вид формулы позволяет исследовать, как меняется значение функции при изменении x.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют её формуле. Например, точка (x; y) принадлежит графику, если после подстановки её координат равенство выполняется. Это определение помогает проверять, верно ли построены точки и сам график.

Парабола — график квадратичной функции. Её форма и положение зависят от коэффициентов a, b и c: график может быть шире или уже, направлен вверх или вниз, сдвинут относительно начала координат. Зная коэффициенты, можно заранее описать основные особенности графика.

Вершина параболы — точка, в которой функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Если ветви направлены вверх, это точка минимума, а если вниз — точка максимума. Вершина нужна, чтобы находить крайнее значение функции и строить график.

Как это устроено

Условие a ≠ 0 необходимо, потому что именно слагаемое ax² делает функцию квадратичной. Если a = 0, слагаемое исчезает и остаётся y = bx + c — формула линейной функции, если b ≠ 0. При b = 0 получится постоянная функция y = c, но и она не будет квадратичной.

Знак коэффициента a определяет направление ветвей: при положительном a значения a(x − x₀)² неотрицательны, поэтому ветви направлены вверх; при отрицательном — вниз. Модуль a влияет на ширину: при большем |a| значения функции быстрее удаляются от вершины, и парабола получается уже. При меньшем |a| она выглядит более широкой.

Коэффициенты b и c тоже влияют на положение графика. Число c задаёт значение функции при x = 0: подстановка даёт y = c, поэтому график проходит через точку (0; c) на оси y. Коэффициент b вместе с a определяет, где находится вершина и проходит ось симметрии; одного b для определения их положения недостаточно.

Параболу можно записать в виде y = a(x − x₀)² + y₀, где (x₀; y₀) — вершина. Если вместо x подставить x₀ + t или x₀ − t, квадрат в обоих случаях будет равен t². Значит, точки с одинаковым расстоянием от x₀ имеют одинаковые значения y, и график симметричен относительно вертикальной прямой x = x₀.

Для y = x² подставим несколько значений x и найдём y: при x = −2 и x = 2 получаем 4, при x = −1 и x = 1 — 1, при x = 0 — 0. Отметим точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) и проведём через них плавную линию. Вершина находится в начале координат, а ось симметрии совпадает с осью y.

Основные свойства квадратичной функции

Начинай чтение таблицы с того свойства, которое требуется найти, затем сопоставляй его с формулой или знаком коэффициента. Координату вершины по x удобно найти по формуле, а координату по y — подстановкой. Таблица помогает проверить, не перепутаны ли направление ветвей и ось симметрии.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 2x² − 3x + 1 определить, является ли она квадратичной, и назвать коэффициенты a, b и c. Сравним формулу с общим видом y = ax² + bx + c. Число перед x² не равно нулю, значит, условие квадратичной функции выполнено.

1. Выделим слагаемое с x²: это 2x², поэтому a = 2.
2. Слагаемое с x имеет вид −3x, значит, b = −3.
3. Свободный член равен 1, следовательно, c = 1.

Ответ: функция квадратичная; a = 2, b = −3, c = 1. Знак коэффициента a также показывает, что ветви её параболы направлены вверх.

Задача 2. Построить график y = x² − 4, указав вершину и ось симметрии. Выражение x² − 4 получается из x² вычитанием 4, поэтому все значения y уменьшаются на 4. Значит, график y = x² нужно сдвинуть вниз на 4 единицы, не меняя его форму.

1. У графика y = x² вершина (0; 0), а ось симметрии — x = 0.
2. После сдвига вниз на 4 вершина перемещается в точку (0; −4), ось симметрии остаётся x = 0.
3. Для построения можно взять x = −2, −1, 0, 1, 2. Значения новой функции равны 0, −3, −4, −3, 0 соответственно.

Ответ: вершина — (0; −4), ось симметрии — x = 0. Отметь найденные точки и соедини их плавной линией с ветвями, направленными вверх.

Задача 3. Для функции y = −x² + 4x − 3 найти вершину, определить направление ветвей и построить схематический график. Выделение полного квадрата покажет, насколько удобно сравнить формулу с видом y = a(x − x₀)² + y₀. Так мы сразу увидим вершину, а знак множителя перед квадратом задаст направление ветвей.

1. Вынесем минус из первых двух слагаемых: y = −(x² − 4x) − 3.
2. Дополнить выражение в скобках до квадрата: x² − 4x = (x − 2)² − 4. Поэтому y = −(x − 2)² + 1.
3. Вершина имеет координаты (2; 1), ось симметрии — x = 2. Коэффициент перед квадратом равен −1, значит, ветви направлены вниз.
4. Для схемы отметим также точки (0; −3) и (4; −3): они находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Ответ: вершина (2; 1), ось x = 2, ветви направлены вниз. При построении изобрази вершину выше отмеченных точек и проведи симметричные ветви.

Типичные ошибки

Иногда квадратичной называют функцию с a = 0. Так происходит, если смотрят только на запись и не проверяют, есть ли в ней ненулевое слагаемое с x². Для проверки подставь a: если оно равно нулю, формула становится линейной или постоянной.

Коэффициент c ошибочно считают значением функции при любом x. Это неверно: слагаемые ax² и bx меняются вместе с x. Проверь подстановкой x = 0 — только тогда оба слагаемых исчезают и остаётся y = c.

Ещё одна ошибка — считать, что при a < 0 ветви параболы направлены вверх. Знак a действует наоборот: положительный коэффициент задаёт ветви вверх, отрицательный — вниз. Чтобы проверить себя, вспомни вид выражения a(x − x₀)²: при отрицательном a значения убывают от вершины.

Ось симметрии иногда называют горизонтальной прямой, потому что путают оси координат. У параболы y = ax² + bx + c ось проходит через вершину вертикально и имеет вид x = x₀. Проверка проста: на всей этой прямой координата x одна и та же.

Связь с другими темами

Для изучения квадратичной функции нужны навыки вычисления значений функции и нанесения точек на координатную плоскость. Также пригодится умение преобразовывать квадрат выражения, например представлять x² − 4x как (x − 2)² − 4. Это помогает находить вершину и строить график.

Парабола связана с квадратными уравнениями: её пересечения с осью x соответствуют нулям функции, то есть значениям x, при которых y = 0. Поэтому график помогает увидеть, сколько корней может иметь квадратное уравнение, а сами свойства функции пригодятся при решении задач на графики.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• График квадратичной функции — парабола.
• При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Вершина параболы — точка максимума или минимума функции.
• Ось симметрии проходит через вершину параболы.
• При x = 0 значение функции равно c.