2.5. Корень многочлена

Определения и обозначения

Многочлен можно записать как сумму степеней переменной с коэффициентами: P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀. Здесь x — переменная, а коэффициенты a₀, a₁, … — числа. Степенью ненулевого многочлена называют наибольшую степень x, у которой коэффициент не равен нулю. Степень нужна, в частности, чтобы оценить, сколько различных корней может иметь многочлен.

Корнем многочлена P(x) называют число a, при подстановке которого значение многочлена равно нулю: P(a) = 0. Например, чтобы проверить число 3, нужно вычислить P(3), а не приравнивать к нулю каждый отдельный коэффициент. Это определение переводит поиск корней в проверку значений. Оно также позволяет сформулировать уравнение P(x) = 0.

Линейный множитель — это многочлен первой степени, например x − a. Число a в этой записи — значение переменной, при котором множитель обращается в ноль: a − a = 0. Поэтому множителю x − a соответствует именно число a. Такая связь помогает записать многочлен с известным корнем в виде произведения.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на x − a равен P(a). При делении на многочлен первой степени остаток — число, и его можно определить простой подстановкой. Теорема нужна, чтобы установить связь между значением многочлена и делением на линейный множитель. Если P(a) равно нулю, деление проходит без остатка.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли число корнем, подставляют его вместо переменной во все вхождения и вычисляют результат. Например, если P(x) = x² − 5x + 6, то для числа 2 получаем P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 0. Значит, 2 — корень. Проверка именно значения многочлена нужна потому, что корнем называют число, при котором вся сумма обращается в ноль.

Из теоремы Безу следует: P(x) делят на x − a, а остаток равен P(a). Если a — корень, то P(a) = 0, значит, остаток нулевой и деление выполняется без остатка. И наоборот, если P(x) делится на x − a без остатка, то остаток равен нулю, поэтому P(a) = 0. Так получаем равносильность: a — корень P(x) тогда и только тогда, когда x − a — его множитель.

Выделение множителя x − a превращает многочлен в произведение: P(x) = (x − a)Q(x), где Q(x) — частное. Чтобы найти корни произведения, приравнивают к нулю его множители: x − a = 0 или Q(x) = 0. Так известный корень уже найден, а оставшаяся задача сводится к многочлену меньшей степени. Повторяя этот приём, можно разложить многочлен дальше.

У ненулевого многочлена степени n не может быть больше n различных корней. Если a — корень, то можно выделить x − a, и степень частного уменьшится на единицу. Любой другой корень должен быть корнем этого частного: при подстановке другого числа множитель x − a не равен нулю. Повторяя рассуждение, после выделения n линейных множителей получить ещё один различный корень уже нельзя. Поэтому утверждение говорит о верхней границе, а не об обязательном количестве корней.

После разложения найденные значения проверяют подстановкой в исходный многочлен. Такая проверка может обнаружить ошибку в делении, знаке или вычислениях, даже если промежуточные шаги выглядели убедительно. Для каждого найденного числа нужно получить ровно ноль. Если проверка не проходит, следует пересмотреть разложение, а не включать число в ответ.

Корень многочлена и линейный множитель

Пользуйтесь первыми двумя строками как взаимно обратными переходами: от значения P(a) переходите к делимости на x − a и обратно. Это позволяет выбрать удобный путь: проверить предполагаемый корень подстановкой или выделить множитель делением. Последняя строка помогает оценить, сколько различных корней может быть у многочлена.

Разбор задач

Проверка числа подстановкой

Задача. Проверить, является ли число 2 корнем многочлена P(x) = x² − 5x + 6. Нужно узнать значение всего многочлена в точке 2. Если сумма окажется нулём, условие определения корня выполнено.

1. Заменим x на 2: P(2) = 2² − 5 · 2 + 6.
2. Вычислим: P(2) = 4 − 10 + 6 = 0.
3. Сопоставим результат с определением: значение многочлена в точке 2 равно нулю.

Ответ: 2 является корнем P(x). Подстановка здесь надёжнее попытки угадать корень по виду выражения: достаточно правильно вычислить значение.

Разложение при известном корне

Задача. Разложить P(x) = x³ − 4x² + x + 6, если известно, что 2 — его корень. Известный корень подсказывает множитель x − 2. После деления останется квадратный многочлен, корни которого можно найти отдельно.

1. Поскольку P(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0, по теореме Безу P(x) делится на x − 2.
2. Деление многочлена на x − 2 даёт частное x² − 2x − 3. Значит, P(x) = (x − 2)(x² − 2x − 3).
3. Разложим квадратный множитель: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), так как произведение даёт −3, а сумма корней 2.
4. Приравняем множители к нулю: x − 2 = 0, x − 3 = 0 или x + 1 = 0.

Ответ: P(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1); корни — 2, 3 и −1. Подстановка каждого числа в исходный многочлен даёт ноль, значит, разложение согласуется с найденными корнями.

Поиск всех корней и проверка их количества

Задача. Найти все корни P(x) = x⁴ − 5x² + 4 и обосновать, что других корней нет. Здесь выражение удобно рассматривать как квадратное относительно x²: нужно найти два числа, произведение которых равно 4, а сумма — 5.

1. Разложим выражение: x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4).
2. Приравняем множители к нулю: x² − 1 = 0 или x² − 4 = 0.
3. Решим уравнения: из первого получаем x = −1 или x = 1; из второго — x = −2 или x = 2.
4. Проверим каждое значение в разложении: при каждом из них один множитель равен нулю, поэтому P(x) = 0. Получено четыре различных корня, а степень многочлена равна 4.

Ответ: корни −2, −1, 1 и 2; других различных корней нет, поскольку ненулевой многочлен четвёртой степени имеет не более четырёх различных корней.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать корнем число, при котором значение многочлена просто вычислено, но не равно нулю. Иногда путают корень уравнения и аргумент, при котором выражение принимает любое значение. По определению корень должен обнулять весь многочлен. Проверяйте итог подстановки: ненулевой результат означает, что число не подходит.

При делении на x − a иногда подставляют −a в теорему Безу. Путаница возникает из-за знака минус в записи множителя, но нулём x − a становится при x = a. Поэтому остаток равен P(a), а не P(−a). Для самопроверки решите x − a = 0 и подставьте найденное значение переменной.

Не следует путать утверждение P(a) = 0 с уравнением P(x) = 0. Первое проверяет одно конкретное число a, второе требует найти все значения переменной, при которых многочлен равен нулю. Ошибка появляется, когда значение переменной и переменную обозначают так, будто это одно и то же. Проверяйте: если число уже задано, подставляйте его; если требуется найти корни, решайте уравнение.

Неверно утверждать, что многочлен степени n обязательно имеет ровно n корней. Теорема гарантирует только не более n различных корней, а действительных корней может оказаться меньше. Например, многочлен второй степени x² + 1 не имеет действительных корней. Чтобы не завысить число решений, проверяйте, какие именно корни найдены, и формулируйте вывод как верхнюю границу.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно уметь вычислять значение многочлена при заданном значении переменной: это основа проверки P(a) = 0. Также понадобится деление многочленов, потому что оно позволяет выделить множитель x − a и получить частное меньшей степени. Эти навыки связывают вычисления со структурой многочлена.

Тема пригодится при разложении многочленов на множители и решении алгебраических уравнений. Вместо поиска решений сложного уравнения напрямую можно найти корень, выделить соответствующий линейный множитель и продолжить работу с частным. Так задача постепенно сводится к более простым уравнениям.

Что запомнить

• a — корень P(x), если P(a) = 0.
• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• a — корень P(x) тогда и только тогда, когда x − a — его множитель.
• Корни многочлена можно находить через разложение на множители.
• Ненулевой многочлен степени n имеет не более n различных корней.