2.4. Теорема Безу

Определения и обозначения

При делении многочлена P(x) на линейный двучлен x − a остаток обозначают буквой r. Такой делитель имеет степень 1, поэтому остаток должен иметь степень меньше 1, то есть быть постоянным числом, а не многочленом положительной степени. Это позволяет записать деление в виде P(x) = (x − a)Q(x) + r.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на x − a равен значению этого многочлена при x = a: r = P(a). Вместо деления столбиком достаточно подставить число a в формулу многочлена. Так быстро находят остаток и проверяют делимость.

Число a называют корнем многочлена P(x), если P(a) = 0. Иными словами, при подстановке a многочлен обращается в ноль. Поиск корней нужен, чтобы решать уравнения и находить множители многочлена.

Линейным множителем многочлена называют двучлен первой степени, на который многочлен делится без остатка. Условие P(a) = 0 равносильно делимости P(x) на x − a. Поэтому найденный корень a сразу даёт линейный множитель x − a.

Как это устроено

При делении P(x) на x − a частное обозначают Q(x), а остаток — r. Поскольку степень остатка меньше степени делителя, а степень x − a равна единице, остаток не может содержать x. Поэтому равенство деления имеет вид P(x) = (x − a)Q(x) + r, где r — число.

Чтобы узнать это число, подставим в равенство x = a. Тогда множитель a − a равен нулю, и произведение (a − a)Q(a) исчезает. Остаётся P(a) = r, то есть значение многочлена в точке a совпадает с остатком деления.

Если P(a) = 0, то найденный остаток равен нулю. Равенство деления превращается в P(x) = (x − a)Q(x), поэтому многочлен делится на x − a без остатка. Именно так теорема Безу связывает вычисление значения многочлена с проверкой делимости.

Обратное утверждение также верно: если P(x) делится на x − a, то P(x) = (x − a)Q(x). Подстановка x = a обнуляет правую часть, поэтому P(a) = 0. Значит, число a является корнем многочлена.

Практический смысл теоремы состоит в замене длинного деления короткой подстановкой. Вычислив P(a), можно сразу узнать остаток, а при нулевом результате — выделить множитель x − a. После этого степень многочлена уменьшается, и дальнейшее разложение или решение уравнения становится проще.

Теорема Безу и её следствия

Сначала определите число a из делителя x − a, затем вычислите P(a). По строке с полученным результатом можно одновременно узнать остаток, делимость и наличие корня.

Для делителя x + a сначала перепишите его как x − (−a). В этом случае в таблице нужно использовать значение P(−a), поскольку корнем делителя является −a.

Разбор задач

Задача 1

Найдите остаток от деления P(x) = 2x³ − 5x + 1 на x − 2. Здесь делитель имеет вид x − a, где a = 2. Значит, применять деление столбиком не нужно.

1. Вычислим значение многочлена в точке 2: P(2) = 2 · 2³ − 5 · 2 + 1.
2. Упростим выражение: P(2) = 2 · 8 − 10 + 1 = 7. По теореме Безу это значение равно остатку.
3. Так как получился ненулевой результат, многочлен на x − 2 без остатка не делится.

Ответ: остаток равен 7.

Задача 2

Проверим, делится ли P(x) = x³ − 4x² + x + 6 на x − 3. Число, которое нужно подставить, равно 3. Достаточно выяснить, обращается ли многочлен в ноль.

1. Находим значение P(3): P(3) = 3³ − 4 · 3² + 3 + 6.
2. Выполняем вычисления: P(3) = 27 − 36 + 3 + 6 = 0. Следовательно, остаток при делении на x − 3 равен нулю.
3. По теореме Безу делаем вывод о делимости и корне: x − 3 является множителем, а 3 — корнем P(x).

Ответ: да, многочлен делится на x − 3.

Задача 3

Разложим P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 на множители, если один из корней равен 1. Корень 1 означает P(1) = 0, поэтому по теореме Безу множителем будет x − 1. Останется найти частное и разложить квадратный многочлен.

1. Делим P(x) на x − 1 или подбираем коэффициенты: P(x) = (x − 1)(x² − x − 6). При раскрытии скобок получается исходный многочлен.
2. Разложим квадратный трёхчлен: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), поскольку произведение свободных членов равно −6, а их сумма равна −1.
3. Объединяем найденные множители и получаем полное разложение многочлена.

Ответ: P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).

Типичные ошибки

При делении на x − a иногда подставляют −a вместо a. Такая ошибка возникает из-за невнимательного чтения знака в делителе, хотя корень двучлена x − a равен именно a. Проверьте себя, решив уравнение x − a = 0.

При делителе x + a подставляют a, забывая изменить знак. Нужно представить выражение как x − (−a), поэтому вычисляется P(−a). Самопроверка проста: найдите корень самого линейного делителя.

Значение P(a) иногда принимают за частное от деления. Теорема Безу говорит только о том, что P(a) равно остатку, а частное обозначается Q(x) и обычно имеет меньшую степень. Проверьте, является ли полученный результат числом: остаток — число, частное — многочлен.

Некоторые делают вывод о делимости, не проверив, равен ли остаток нулю. Ненулевое значение P(a) означает, что деления без остатка нет. Поэтому после вычисления всегда сравнивайте результат именно с нулём.

Связь с другими темами

Для применения теоремы нужно знать, что такое многочлен, как вычислять его значение при заданном x и как устроено деление многочленов. Равенство P(x) = (x − a)Q(x) + r показывает связь этой темы с алгоритмом деления с остатком. Эти знания позволяют понимать, откуда берётся формула P(a) = r.

Теорема Безу связывает корни многочлена с его разложением на множители. Она особенно полезна при решении уравнений третьей и более высокой степени: найденный корень даёт линейный множитель, после выделения которого задача упрощается.

Что запомнить

• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• При делении на x + a остаток равен P(−a).
• P(a) = 0 тогда и только тогда, когда x − a — делитель P(x).
• Число a является корнем P(x), если P(a) = 0.
• Чтобы проверить линейный множитель, достаточно подставить соответствующее значение в многочлен.