§ 38. Иррациональные уравнения

Определения и обозначения

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Например, в уравнении √(x + 2) = 4 неизвестная x входит в подкоренное выражение. Это понятие помогает отличить такие уравнения от линейных и квадратных и выбрать подходящий способ решения.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все выражения с корнями имеют смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: например, для √(x − 3) нужно x − 3 ≥ 0. ОДЗ отсекает значения, которые нельзя подставлять в исходное уравнение.

Посторонний корень — значение переменной, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка в исходном уравнении нужна, чтобы не включить такое значение в ответ.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если при преобразовании условия на переменную теряются, равносильность может нарушиться. Поэтому полезно отмечать, при каких условиях выполнен каждый переход, и проверять кандидатов.

Как это устроено

Сначала проверяют подкоренное выражение, потому что арифметический квадратный корень определён только для неотрицательного числа. Если, например, стоит √(x − 5), допустимы лишь x ≥ 5. Это условие не зависит от дальнейших преобразований: значения вне ОДЗ не могут быть решениями ни при каких вычислениях.

В уравнении √f(x) = g(x) левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при g(x) ≥ 0. Если это условие выполнено, можно возвести обе части в квадрат и получить f(x) = g²(x). И наоборот: при f(x) = g²(x) и g(x) ≥ 0 значение √f(x) равно g(x), поэтому вместе эти два условия равносильны исходному уравнению.

Само по себе возведение в квадрат не сохраняет равносильность, потому что числа с разными знаками имеют одинаковые квадраты: 3² = (−3)². Поэтому из a² = b² следует, что a = b или a = −b, а не обязательно a = b. Условие о знаке правой части устраняет эту неоднозначность, а проверка помогает обнаружить лишние значения.

Для уравнения с одним корнем сначала записывают ОДЗ, затем оставляют радикал один в одной части равенства. Проверяют знак другой части, возводят обе части в квадрат и решают получившееся уравнение. Найденные значения подставляют именно в исходное равенство: оно сохраняет все требования к знакам и подкоренным выражениям.

Если в уравнении несколько радикалов, один из них сначала отделяют от остальных слагаемых. После первого возведения в квадрат может появиться новый корень, поэтому его тоже изолируют и, если нужно, снова возводят обе части в квадрат. На каждом шаге учитывают ОДЗ, а все окончательные кандидаты проверяют в исходном уравнении, чтобы отсеять посторонние корни.

Основные шаги решения уравнений с квадратным корнем

Пользуйтесь таблицей как кратким планом: сначала выпишите условия, затем выберите преобразование для нужного вида уравнения. В последнем столбце собраны проверки, которые нельзя пропускать. При нескольких корнях особенно внимательно следите за ОДЗ каждого радикала.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение √(x + 1) = 3. Здесь корень уже изолирован, а справа стоит положительное число. После возведения в квадрат получится простое линейное уравнение. Всё равно подставим найденное значение в исходную запись, чтобы подтвердить ответ.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x + 1 ≥ 0, значит, x ≥ −1.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = 9. Отсюда x = 8.
3. Проверяем: √(8 + 1) = √9 = 3. Равенство верно, и x = 8 входит в ОДЗ.

Ответ: 8. Задача 2. Решите уравнение √(2x + 3) = x. Правая часть здесь зависит от переменной и может быть отрицательной. Но корень неотрицателен, поэтому до возведения в квадрат нужно потребовать x ≥ 0. Это условие также помогает не принять за решение значение с неподходящим знаком.

1. ОДЗ корня: 2x + 3 ≥ 0, то есть x ≥ −3/2. Учитываем знак правой части: x ≥ 0.
2. Возводим обе части в квадрат: 2x + 3 = x², поэтому x² − 2x − 3 = 0.
3. Разложим на множители: (x − 3)(x + 1) = 0. Кандидаты: x = 3 и x = −1, но условию x ≥ 0 соответствует только x = 3.
4. Проверяем исходное уравнение: √(2 · 3 + 3) = √9 = 3. Равенство верно.

Ответ: 3. Задача 3. Решите уравнение √(x + 1) + √(2x − 1) = 3. Два корня нельзя сразу убрать одним возведением в квадрат: сначала нужно оставить один радикал в отдельной части. После первого преобразования появится ещё один корень, поэтому потребуется повторное возведение в квадрат. В конце проверим найденное значение в исходном равенстве.

1. ОДЗ: x + 1 ≥ 0 и 2x − 1 ≥ 0, значит, x ≥ 1/2. Изолируем первый корень: √(x + 1) = 3 − √(2x − 1).
2. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = 10 − 6√(2x − 1) + 2x. Переносим слагаемые: 6√(2x − 1) = 9 + x.
3. Правая часть положительна при x ≥ 1/2. Делим на 6 и снова возводим в квадрат: 2x − 1 = (x + 9)²/36. Получаем x² − 54x + 117 = 0.
4. Решения этого квадратного уравнения: x = 27 ± 6√18. Проверка в исходном уравнении оставляет x = 27 − 6√18; второй кандидат не подходит исходному равенству.
5. Для оставшегося значения подкоренные выражения неотрицательны, а подстановка в исходное равенство подтверждает его. Поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответ: 27 − 6√18.

Типичные ошибки

• Возводить обе части в квадрат, не проверив знак правой части, — ошибка: квадратный корень не бывает отрицательным. Её допускают, когда смотрят только на удобное преобразование и забывают о свойствах корня. Проверьте, что правая часть не меньше нуля; если это невозможно, решений нет.

• Забывать ограничения ОДЗ — значит допускать значения, при которых подкоренное выражение отрицательно. Такое случается, когда внимание сосредоточено только на полученном уравнении. Для самопроверки подставьте каждый кандидат во все подкоренные выражения и убедитесь, что они неотрицательны.

• Считать все решения уравнения после возведения в квадрат корнями исходного нельзя: преобразование может добавить посторонние значения. Часто это происходит из-за мысли, что любое действие над обеими частями автоматически сохраняет множество решений. Сравните кандидатов с условиями на знак и подставьте их в исходное уравнение.

• Проверять ответ только в преобразованном уравнении недостаточно, потому что при возведении в квадрат могли потеряться требования к знакам. Упрощённое уравнение уже не всегда полностью описывает первоначальное. Подставляйте каждый кандидат в исходную запись, проверяя одновременно определённость корней и равенство частей.

Связь с другими темами

Для решения нужно знать смысл арифметического квадратного корня и помнить, что под корнем допустимы только неотрицательные значения. Также пригодятся свойства равенств: ими преобразуют уравнение, не меняя его решения, если переход равносилен. Полученное после возведения в квадрат уравнение часто оказывается линейным или квадратным, поэтому важно уметь решать уравнения этих видов.

Проверка корней связывает тему с понятием равносильных уравнений: она показывает, сохранили ли преобразования исходные условия. Те же приёмы пригодятся в более сложных уравнениях и системах с радикалами. В них особенно важно действовать последовательно и сохранять ОДЗ.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• Арифметический квадратный корень неотрицателен.
• Перед возведением уравнения в квадрат проверьте знак обеих частей.
• Возведение в квадрат может добавить посторонние корни.
• Все найденные кандидаты проверяйте в исходном уравнении.
• В ответ включайте только значения, удовлетворяющие исходному уравнению и ОДЗ.