"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Стандартный вид помогает коротко записывать очень большие и очень малые положительные числа: вместо длинной цепочки нулей используют произведение a·10ⁿ. Коэффициент a выбирают так, чтобы он был не меньше 1, но меньше 10, а n показывает, на сколько разрядов сдвинули запятую и в какую сторону. Умение переводить числа в такую запись помогает вычислять и сравнивать их, например в задачах о расстояниях, массах и других величинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стандартный вид положительного числа — это запись a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Например, число 6300 можно записать как 6,3·10³. Такая форма особенно полезна для очень больших и очень малых чисел: вместо множества нулей достаточно указать коэффициент и степень десяти.
Число a называют коэффициентом. Оно должно быть не меньше 1, чтобы перед запятой оставалась ненулевая цифра, и меньше 10, чтобы перед запятой была только одна цифра. Это условие делает запись однозначной: нельзя, например, оставить коэффициентом 63, ведь запятую можно перенести и получить 6,3.
Число n — целый показатель степени числа 10. Положительный показатель соответствует исходному числу, большему коэффициента, а отрицательный — числу, меньшему коэффициента; нулевой показатель означает, что число не менялось. Поэтому знак и величина n помогают понять масштаб исходного числа и количество разрядов, на которое сдвигали запятую.
Сначала найдите первую ненулевую цифру исходного числа и поставьте после неё запятую. Так получается коэффициент от 1 до 10: например, из 47200 выходит 4,72, а из 0,0036 — 3,6. Запятую мысленно передвигают, а число n показывает, сколько разрядов она прошла.
Если запятую в большом числе переносим влево, новая запись без степени становится меньше исходного числа. Чтобы произведение осталось прежним, коэффициент нужно умножить на положительную степень 10: каждый шаг влево компенсируется множителем 10. При переносе вправо коэффициент, наоборот, увеличивается, поэтому его компенсируют делением на 10, то есть умножением на отрицательную степень.
Для большого натурального числа поставьте запятую после первой цифры, а число пройденных разрядов запишите положительным показателем. Так, в числе 6300 запятая проходит три позиции влево, поэтому получается 6,3·10³. Для малой десятичной дроби переносите запятую вправо до первой ненулевой цифры и ставьте минус перед числом шагов: в 0,000072 это пять шагов, значит показатель равен −5.
Проверка состоит из двух частей: коэффициент должен попадать в промежуток от 1 включительно до 10 не включительно, а произведение должно восстанавливать исходное число. Например, 6,3 удовлетворяет границам, а умножение на 10³ возвращает 6300. Если получился коэффициент 63 или 0,63, запись ещё не стандартная: запятую надо передвинуть и соответственно изменить показатель.
При сравнении чисел сначала смотрите на показатели степени 10. Если они различны, больше число с большим показателем: например, число с множителем 10⁵ больше числа с множителем 10⁴, потому что даже минимальный коэффициент при 10⁵ даёт большее значение, чем максимальный коэффициент при 10⁴. Если показатели одинаковы, степени 10 совпадают и достаточно сравнить коэффициенты.
| Исходное число | Куда перенесена запятая | Стандартный вид | Знак степени 10 |
|---|---|---|---|
| Число от 1 до 10 | Запятая не переносится | Число умножить на 10⁰ | Нулевой |
Таблица показывает особый случай: если число уже находится между 1 и 10, его можно взять за коэффициент без переноса запятой. Тогда показатель равен нулю, так как 10⁰ = 1 и число не меняется. Для остальных чисел определите направление и количество шагов переноса, а затем поставьте соответствующий показатель.
Задача. Записать число 6 300 в стандартном виде. Нужно получить коэффициент не меньше 1 и меньше 10, поэтому запятую поставим после первой цифры. Затем посчитаем, сколько разрядов она прошла, и выберем знак показателя.
Ответ: 6 300 = 6,3·10³. Показатель положительный, потому что запятая при получении коэффициента перемещалась влево.
Задача. Записать число 0,000072 в стандартном виде. Первая ненулевая цифра находится далеко справа, поэтому запятую придётся двигать вправо. В этом случае показатель будет отрицательным, а его модуль равен числу шагов.
Ответ: 0,000072 = 7,2·10⁻⁵. Коэффициент подходит, а отрицательная степень уменьшает его до исходного малого числа.
Задача. Сравнить числа 3,8·10⁵ и 4,1·10⁴. Коэффициент второго числа больше, но сравнивать только коэффициенты нельзя: показатели степеней различны и сильно влияют на величину. Сначала определяем, какой показатель больше, а затем проверяем результат вычислением.
Ответ: 3,8·10⁵ > 4,1·10⁴. Проверка подтверждает, что больший коэффициент второго числа не меняет итог сравнения.
Иногда коэффициент оставляют равным 10 или больше, например записывают 63·10². Так происходит, когда прекращают перенос запятой слишком рано и не проверяют границы коэффициента. Проверьте условие 1 ≤ a < 10: правильная запись того же числа — 6,3·10³.
Другая ошибка — перепутать знак показателя: поставить минус после переноса запятой влево или плюс после переноса вправо. Обычно знак выбирают наугад, не связывая перенос с изменением размера коэффициента. Вспомните направление движения и проверьте произведение: 6,3·10³ должно быть большим, чем 6,3, а 7,2·10⁻⁵ — меньшим.
Можно неверно посчитать шаги, особенно если в числе несколько нулей. Нули не пропускают: запятая проходит каждый разряд, даже если между начальным и конечным положением стоят нули. Чтобы проверить себя, запишите исходное и конечное положение запятой и сосчитайте каждый переход по одному разряду.
При сравнении иногда смотрят только на коэффициенты и решают, что число с большим коэффициентом больше. Это неверно, когда показатели разные: например, 4,1 больше 3,8, но 4,1·10⁴ меньше 3,8·10⁵. Сначала сравните показатели, а коэффициенты используйте для сравнения только при одинаковых показателях.
Для перехода к стандартному виду нужно уметь читать десятичную запись и понимать, как запятая перемещается при умножении или делении на 10, 100 и другие степени десяти. Каждый перенос на один разряд связан с изменением числа в десять раз. Поэтому знание разрядов десятичной записи помогает правильно определить и показатель, и его знак.
Стандартная запись полезна в физике и других естественных науках, где встречаются очень большие и очень малые величины. Она делает такие числа компактнее и позволяет сравнивать их порядки величин, то есть оценивать, насколько они велики или малы. Это помогает быстрее заметить различие масштабов ещё до подробных вычислений.
Что называют стандартным видом положительного числа?
Это запись числа в виде a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Например, 6300 = 6,3·10³.
Почему коэффициент должен быть меньше 10?
Такую границу задаёт правило стандартной записи: перед запятой должна стоять ровно одна цифра от 1 до 9. Если коэффициент не меньше 10, запятую можно перенести ещё на один разряд, изменив показатель степени.
Как определить знак показателя степени 10?
Если запятую переносят влево, показатель положительный: исходное число больше коэффициента. Если запятую переносят вправо, показатель отрицательный: исходное число меньше коэффициента.
Как не ошибиться при подсчёте перемещений запятой?
Считайте каждый переход через один разряд, в том числе через нули, и отмечайте число перемещений. Затем проверьте результат умножением коэффициента на соответствующую степень 10.
Как сравнить два числа, записанных в стандартном виде?
Сначала сравните показатели степени 10: при разных показателях больше число с большим показателем. Если показатели равны, сравните коэффициенты.
§ 36. Стандартный вид положительного числа
