§ 35. Приближенные значения действительных чисел

Определения и обозначения

Приближённое значение числа — число, близкое к точному и заменяющее его в вычислениях. Запись a ≈ b читают «a приблизительно равно b»: она показывает, что числа близки, но не утверждает их точное равенство. Это удобно, когда точное значение трудно записать, например для иррационального числа.

Приближение с недостатком меньше точного значения, а приближение с избытком больше него. Например, если приближённое число расположено левее точного на числовой прямой, оно дано с недостатком. Такое сравнение помогает понять, в какую сторону мы ошибаемся при замене числа.

Округление числа — замена числа близким числом с меньшим количеством разрядов. Чтобы округлить до нужного разряда, оставляют цифру этого разряда и смотрят на следующую: при 0–4 её не меняют, при 5–9 увеличивают на единицу. Округление делает запись удобнее, но не превращает приближённое значение в точное.

Точность приближения задаёт, насколько малой должна быть разность между точным и приближённым значениями. Эту разность по величине называют абсолютной погрешностью. Требование к точности позволяет проверить, подходит ли выбранная замена для вычислений или измерений.

Как это устроено

Действительные числа включают рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число нельзя точно записать конечной или периодической десятичной дробью, поэтому в вычислениях используют удобную десятичную запись с нужным числом знаков. Например, вместо √2 можно взять 1,41. Так легче считать, но результат становится приближённым, и его точность нужно учитывать.

Чтобы определить, дано ли приближение с недостатком или избытком, сравнивают его с точным числом. Если точное значение известно не в виде десятичной дроби, иногда сравнивают другие выражения, связанные с ним. Например, при сравнении положительных чисел можно сравнить их квадраты: большему числу соответствует больший квадрат. Важно обосновать именно сравнение, а не выбирать название по виду записи.

При округлении сначала находят разряд, до которого нужно оставить число: единицы, десятые, сотые и так далее. Затем смотрят на цифру сразу справа от этого разряда, а не на последнюю сохраняемую цифру. Если следующая цифра меньше 5, оставшаяся часть не меняет выбранный разряд; если она не меньше 5, число округляют вверх. Например, до сотых у 3,14159 сохраняют цифру 4, а следующая цифра — 1.

Точность часто задают допустимой абсолютной погрешностью, например требуют, чтобы она была меньше 0,01. Количество знаков после запятой помогает получить подходящее приближение, но само по себе ещё не доказывает выполнение требования. Нужно оценить расстояние от точного числа до выбранного значения и сравнить его с границей точности. Если известны границы, между которыми находится точное число, такую оценку можно сделать без точной десятичной записи.

После округления отброшенные цифры могут изменить значение числа, поэтому приближение обычно не совпадает с точным. Величина отклонения зависит от того, где находится точное число относительно округлённого, и может быть как небольшой, так и почти равной половине единицы последнего оставленного разряда. Например, при округлении до сотых такая единица равна 0,01, а отклонение не превышает 0,005. Следовательно, нельзя автоматически считать ошибку равной 0,01: её надо оценивать для конкретного числа.

Способы приближения действительных чисел

Сначала определите, что именно требуется: сравнить приближение с точным числом, округлить запись или проверить точность. Затем выберите соответствующее правило в таблице и проверьте, что сравниваете с нужной величиной. В последнем случае оценивают именно отклонение от точного значения, а не число знаков после запятой.

Разбор задач

Задача 1. Установить, является ли 2,6 приближением числа √7 с недостатком или с избытком, если 2,6² < 7. Нужно сравнить сами числа, хотя условие даёт сравнение их квадратов. Поскольку оба числа положительны, сравнение квадратов сохраняет порядок чисел.

1. Из условия известно: 2,6² < 7.
2. Так как 7 = (√7)², получаем 2,6² < (√7)².
3. Числа 2,6 и √7 положительны, поэтому из сравнения квадратов следует 2,6 < √7.
4. Приближённое значение меньше точного, значит, оно дано с недостатком.

Ответ: 2,6 — приближение √7 с недостатком. Здесь сравнение квадратов допустимо именно потому, что оба сравниваемых числа положительны.

Задача 2. Округлить число 3,14159 до сотых. Сотые — второй разряд после запятой, поэтому цифра 4 должна остаться последней сохраняемой цифрой. Решение зависит от цифры, которая стоит сразу после неё.

1. Записываем разряды: 3,1 — десятые, 4 — сотые, 1 — тысячные.
2. Оставляем часть числа до сотых: 3,14.
3. Смотрим на следующую цифру, то есть на тысячные. Это 1, а она меньше 5, поэтому сотые не увеличиваем.

Ответ: 3,14159 ≈ 3,14 при округлении до сотых. Если бы следующей цифрой была 5 или больше, последнюю сохраняемую цифру пришлось бы увеличить на единицу.

Задача 3. Число √10 заменили числом 3,16. Проверить, меньше ли ошибка приближения 0,01, используя 3,16² и 3,17². Сначала нужно определить, где находится √10 относительно этих соседних десятичных чисел, а затем оценить расстояние до 3,16.

1. Вычисляем квадраты: 3,16² = 9,9856, а 3,17² = 10,0489.
2. Получаем 3,16² < 10 < 3,17². Все числа положительны, поэтому 3,16 < √10 < 3,17.
3. Вычитаем 3,16 из всех частей неравенства: 0 < √10 − 3,16 < 0,01.
4. Поскольку √10 больше 3,16, абсолютная погрешность равна √10 − 3,16 и меньше 0,01.

Ответ: приближение 3,16 укладывается в заданную точность: ошибка меньше 0,01. Границы соседних чисел позволяют это доказать, даже не вычисляя √10 точно.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать приближение недостатком или избытком, не сравнив его с точным числом. Иногда по привычке считают, что более короткая запись меньше или больше исходной, но число знаков этого не определяет. Сравните значения напрямую или докажите нужное неравенство, например с помощью квадратов положительных чисел. Только после этого называйте вид приближения.

Ошибка: при округлении смотреть на последнюю сохраняемую цифру. Решение принимают не по ней, а по следующей цифре справа. Путаница возникает, потому что именно сохраняемая цифра меняется, когда округляют вверх. Проверьте себя: сначала подчеркните нужный разряд, затем отдельно укажите цифру, стоящую сразу за ним.

Ошибка: считать, что при округлении до сотых ошибка всегда равна 0,01. Число 0,01 — это шаг между соседними сотыми, а не обязательное отклонение от точного значения. Ошибка может быть меньше и даже равна нулю, если число уже имеет точную конечную запись. Чтобы проверить себя, сравните точное и округлённое значения или оцените, между какими границами лежит точное число.

Ошибка: путать количество знаков после запятой с требованием к точности. Два знака после запятой говорят о форме записи, но требование «ошибка меньше 0,01» относится к расстоянию до точного значения. Их часто считают одним и тем же, потому что оба условия содержат десятичные дроби. Проверяйте абсолютную погрешность отдельно: например, для 3,16 и √10 неравенство 3,16 < √10 < 3,17 доказывает, что ошибка меньше 0,01.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать приближённые и точные значения, нужно уметь сравнивать действительные числа и читать их десятичную запись. При работе с иррациональными числами пригодится сравнение положительных чисел по квадратам: оно позволяет установить границы для корня, не находя его точное значение.

Округление и оценка погрешности нужны не только в алгебре. Эти навыки применяют при вычислениях с иррациональными числами, измерениях и решении практических задач, где результат записывают ограниченным числом цифр. Понимание точности помогает судить, достаточно ли такого результата для поставленной задачи.

Что запомнить

• Знак ≈ используют для приближённого равенства.
• Приближение с недостатком меньше точного значения.
• Приближение с избытком больше точного значения.
• При округлении решение зависит от цифры, следующей за сохраняемым разрядом.
• Округление до заданного разряда не делает приближённое значение точным.
• Точность показывает, насколько близко приближённое значение должно быть к точному.