"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приближённые вычисления нужны, когда точное значение неизвестно или его неудобно записывать: так бывает при измерениях, округлении и работе с численными данными. Чтобы понимать, насколько результат близок к точному, оценивают погрешность. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и величина, а относительная показывает ошибку по сравнению с её размером. Умение округлять и учитывать точность исходных данных помогает не выдавать лишние цифры за достоверные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое число заменяет точное значение, когда его нельзя узнать или неудобно использовать. Например, длину, полученную при измерении, записывают с конечным числом цифр, а число π часто заменяют числом 3,14. Приближённое равенство обозначают знаком ≈: например, π ≈ 3,14. Такая запись сразу предупреждает, что равенство не точное.
Абсолютная погрешность приближённого значения — модуль разности приближённого и точного значений: Δ = |a − A|, где a — приближение, A — точное значение. Модуль нужен, потому что ошибка может быть как положительной, так и отрицательной, а погрешность выражает её величину. Точное значение часто неизвестно, поэтому вместо самой погрешности указывают её верхнюю границу: например, Δ ≤ 0,1.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δ = Δ/|A|. Она показывает, насколько заметна ошибка по сравнению с размером измеряемой величины, и часто выражается в процентах. Поэтому относительная погрешность помогает сравнивать точность чисел разного масштаба: одна и та же абсолютная ошибка может быть небольшой для большого числа и существенной для малого.
Значащими цифрами называют цифры записи, которые сообщают о величине и точности числа: ненулевые цифры и нули между ними, а также конечные нули в десятичной записи. Например, в 2,030 значащими являются все четыре цифры. Их количество помогает понять точность записи: если оставить меньше цифр, значение будет задано грубее, а лишние цифры могут создать ложное впечатление точности.
Приближённые значения появляются при измерениях, округлении и вычислениях с уже приближёнными данными. Измерительный прибор имеет ограниченную точность, поэтому результат нельзя считать абсолютно точным. Округление заменяет число более короткой записью, а дальнейшие вычисления переносят в результат неточность исходных чисел. Значит, при работе с таким ответом нужно помнить не только его значение, но и возможную ошибку.
Чтобы округлить число до заданного разряда, сначала оставляют цифры до этого разряда включительно, а затем смотрят на следующую цифру. Если она равна 0, 1, 2, 3 или 4, последнюю оставляемую цифру не меняют: 8,376 до десятых превращается в 8,4, потому что следующая цифра — 7. Если следующая цифра от 5 до 9, последнюю оставляемую увеличивают на единицу. Такой выбор делает округлённое значение ближайшим к исходному из чисел с нужным разрядом.
Округление позволяет сразу оценить границу абсолютной погрешности. При округлении до десятых соседние возможные округляемые значения разделены на 0,1, поэтому исходное число отстоит от результата не более чем на половину этого шага — 0,05. Например, запись 8,4 после округления до десятых означает, что исходное число отличалось от неё не более чем на 0,05. Результат вместе с такой оценкой можно записать как 8,4 ± 0,05 или указать отдельно: абсолютная погрешность не больше 0,05.
Абсолютная погрешность показывает ошибку в единицах самой величины, а относительная сравнивает её с точным значением. Например, ошибка 1 см может быть несущественной при измерении длинного участка, но большой при измерении маленького предмета. Относительная погрешность помогает увидеть эту разницу и сопоставить результаты измерений в сантиметрах, метрах или других масштабах. Чем она меньше, тем точнее приближение относительно величины числа.
При оценке результата вычисления нужно учитывать, насколько точны исходные данные. Измеренная сторона может отличаться от указанного значения, поэтому площадь, объём или другая вычисленная величина тоже имеют диапазон возможных значений. Для простых оценок можно задать границы исходных чисел и выполнить действие с этими границами. После этого ответ округляют так, чтобы его точность не превышала точность данных: вычисление само по себе новых достоверных цифр не добавляет.
| Что рассматриваем | Определение или правило | Что показывает |
|---|---|---|
| Абсолютная погрешность | Δ = |a − A|; если точное значение неизвестно, указывают верхнюю границу Δ. | Величину ошибки в единицах измеряемой величины. |
| Относительная погрешность | δ = Δ/|A|. | Ошибка по сравнению с модулем точного значения. |
| Округление до заданного разряда | Оставить цифры до нужного разряда; по следующей цифре решить, менять ли последнюю оставляемую. | Приближённое значение и границу ошибки округления. |
| Запись результата с оценкой точности | Указать приближение и верхнюю границу погрешности, например a ± ε. | Значение результата и предел его возможного отклонения. |
Сначала определите, что известно: точное значение, абсолютная погрешность или только точность округления. Затем выберите подходящую строку таблицы и сопоставьте её с нужными данными задачи. Если результат получен вычислением, проверьте, не стали ли его записанные цифры точнее исходных измерений.
Число 8,376 округлим до десятых и укажем верхнюю границу ошибки округления. Разряд десятых — первая цифра после запятой, поэтому оставляем 8,3 и проверяем следующую цифру. Она равна 7, значит, цифру десятых нужно увеличить на единицу.
Ответ: 8,376 ≈ 8,4; ошибка округления не превосходит 0,05.
Приближённая длина равна 12,4 см, точная — 12,36 см. Сначала находим абсолютную погрешность, чтобы узнать величину ошибки в сантиметрах. Затем делим её на модуль точного значения: так получаем относительную погрешность, которую можно сравнивать с точностью других измерений.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,04 см, относительная — примерно 0,00324, или 0,32%.
Стороны прямоугольника измерены с точностью до 0,1 см: 7,2 см и 3,5 см. При обычном округлении до десятых каждая сторона может отличаться от записанного значения не более чем на 0,05 см. Поэтому прежде чем оценивать площадь, зададим промежутки возможных длин и перемножим их границы. Все длины положительны, значит, наименьшая площадь получается при обеих нижних границах, а наибольшая — при верхних.
Ответ: площадь приблизительно равна 25,2 см²; с учётом точности измерений она лежит в пределах от 24,6675 до 25,7375 см², а погрешность приближённого значения не превосходит 0,5375 см².
Первая ошибка — считать абсолютной погрешностью разность приближённого и точного значений без модуля. Тогда погрешность может оказаться отрицательной, хотя она должна выражать только величину ошибки. Так происходит, когда забывают, что вычитание зависит от порядка чисел. Проверка простая: поменяйте местами приближённое и точное значения — абсолютная погрешность должна остаться той же.
Вторая ошибка — называть абсолютную погрешность относительной или просто не делить её на точное значение. Эти величины отвечают на разные вопросы: первая показывает ошибку в единицах измерения, вторая — ошибку по отношению к размеру числа. Путаница часто возникает из-за похожих названий. Проверяйте формулу и единицы: абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что величина, а относительная — безразмерная.
Третья ошибка — округлять, просто отбрасывая цифры после нужного разряда. При таком способе, например, число 8,376 до десятых превратилось бы в 8,3, хотя следующая цифра 7 требует увеличить последнюю оставляемую. Ошибка появляется, если не посмотреть на цифру сразу за выбранным разрядом. Перед ответом отдельно отметьте эту цифру и примените правило округления.
Четвёртая ошибка — записывать результат с большим числом цифр, чем позволяют исходные измерения. Калькулятор может показать длинную десятичную дробь, но это не делает исходные данные точнее. Лишние цифры создают ложное впечатление надёжности и могут скрыть реальную неопределённость. Сверьте точность ответа с точностью измерений и оставьте только оправданные значащие цифры.
Для работы с погрешностями нужно уметь сравнивать и округлять десятичные числа, находить модуль числа и выполнять действия с дробями. Эти навыки помогают верно выбрать разряд, посчитать отклонение и перейти от абсолютной погрешности к относительной. Оценка погрешностей применяется при обработке измерений в физике и геометрии: результат измерения не бывает точнее прибора. Представление о точности вычислений пригодится и в численных методах, например при приближённом решении уравнений.
Чем приближённое число отличается от точного?
Точное число совпадает с рассматриваемым значением, а приближённое лишь заменяет его с некоторой ошибкой. Например, 3,14 — приближённая запись числа π. Приближённое равенство обозначают знаком ≈.
Как найти абсолютную погрешность, если точное значение известно?
Вычтите точное значение из приближённого и возьмите модуль разности: Δ = |a − A|, где a — приближение, A — точное значение. Например, для 12,4 и 12,36 получаем Δ = |12,4 − 12,36| = 0,04.
Зачем нужна относительная погрешность?
Она показывает, насколько велика абсолютная ошибка по сравнению с самим значением. Это позволяет сравнивать точность приближений чисел разного масштаба. Относительная погрешность равна абсолютной, делённой на модуль точного значения.
Как определить погрешность при округлении числа?
При обычном округлении до выбранного разряда погрешность не превосходит половины единицы этого разряда. Например, при округлении до десятых граница ошибки равна 0,05. Чтобы округлить, посмотрите на следующую цифру: при 0–4 последнюю оставляемую не меняют, при 5–9 увеличивают на единицу.
Почему нельзя записывать в ответе много цифр после запятой?
Лишние цифры создают впечатление, что результат известен точнее, чем исходные данные. Вычисления не устраняют погрешность измерений, а иногда распространяют её. Поэтому округляйте ответ так, чтобы число записанных цифр соответствовало точности данных.
5.3. Приближенные вычисления
