"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Касательная — прямая, которая в точке графика имеет такое же направление, как сама кривая. Её уравнение позволяет описать эту прямую с помощью значения функции и её производной в точке касания. Чтобы составить уравнение, нужно найти координаты точки графика и вычислить производную в её абсциссе. Знак производной показывает, поднимается касательная, опускается или идёт горизонтально.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к графику функции — прямая, проходящая через точку графика и имеющая в ней то же направление, что и график. Иначе говоря, вблизи точки касания прямая показывает, куда направлена кривая. Это понятие позволяет заменить часть графика прямой и описать её наклон.
Точка касания — точка графика с координатами (x₀; f(x₀)), в которой проводится касательная. Здесь x₀ — абсцисса, а f(x₀) — соответствующая ордината. Эти координаты нужны, чтобы установить, через какую точку должна проходить прямая.
Уравнение касательной — формула прямой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Она задаёт связь между координатами любой точки касательной. Для её составления нужны значение функции и значение производной именно при x = x₀.
Угловой коэффициент касательной — значение производной f′(x₀), показывающее наклон касательной к оси абсцисс. Положительный коэффициент соответствует подъёму прямой слева направо, отрицательный — спуску. По коэффициенту также можно определить, горизонтальна ли касательная.
Касательная проходит через точку A(x₀; f(x₀)), потому что проводится именно к графику в этой точке. Подстановка x = x₀ в её формулу даёт y = f(x₀): слагаемое f′(x₀)(x − x₀) обращается в ноль. Значит, координаты точки касания удовлетворяют уравнению прямой, как и должны.
Производная равна угловому коэффициенту касательной, потому что описывает изменение функции в непосредственной близости от x₀. Чем сильнее меняются значения функции при небольшом изменении аргумента, тем круче направлена касательная. Знак производной показывает направление этого изменения, а её модуль — насколько выражен наклон.
Общее уравнение прямой через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k имеет вид y − y₀ = k(x − x₀). Для касательной точка лежит на графике, поэтому y₀ заменяют на f(x₀). Наклон задаётся производной, значит, вместо k подставляют f′(x₀); после переноса y₀ получается формула касательной.
Для обычной касательной функция должна быть определена и дифференцируема в x₀. Определённость нужна, чтобы существовала точка графика с ординатой f(x₀). Дифференцируемость гарантирует, что в этой точке есть производная и можно однозначно задать наклон касательной по стандартной формуле.
Знак производной позволяет определить направление касательной. При f′(x₀) > 0 угловой коэффициент положителен, поэтому прямая поднимается слева направо; при f′(x₀) < 0 она опускается. Если f′(x₀) = 0, наклона нет: касательная горизонтальна и параллельна оси абсцисс.
| Элемент | Обозначение или формула | Смысл |
|---|---|---|
| Точка касания | A(x₀; f(x₀)) | Точка графика, через которую проходит касательная |
| Угловой коэффициент | k = f′(x₀) | Наклон касательной к оси абсцисс |
| Уравнение касательной | y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) | Связывает координаты любой точки касательной |
| Горизонтальная касательная | f′(x₀) = 0 | Касательная параллельна оси абсцисс |
| Наклонная касательная | f′(x₀) ≠ 0 | Касательная образует с осью абсцисс ненулевой угол |
Сначала по таблице определите точку касания и найдите значение производной в её абсциссе. Затем подставьте точку и угловой коэффициент в формулу прямой. Если коэффициент равен нулю, уравнение упрощается до y = f(x₀).
На графике параболы y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1 касательная проходит через точку (1; 1) и имеет наклон 2. Поэтому её уравнение имеет вид y = 2x − 1. Пунктирная прямая показывает касательную, а сама парабола — график функции.
Найдём уравнение касательной к графику y = x² при x₀ = 1. Сначала определим точку графика, затем наклон прямой по производной. После этого используем формулу касательной.
Вычислим значение функции: f(1) = 1² = 1, поэтому точка касания — A(1; 1). Это задаёт точку, через которую обязана проходить искомая прямая.
Найдём производную: f′(x) = 2x, откуда f′(1) = 2. Значит, угловой коэффициент касательной равен 2.
Подставим найденные значения: y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1. Результат проходит через (1; 1) и имеет нужный наклон.
Ответ: y = 2x − 1.
Найдём касательную к функции y = sin x в точке x₀ = π/3. Здесь важно отдельно вычислить ординату точки и производную: у синуса и его производной в этой точке разные значения. Производная синуса равна cos x.
Находим точку касания: f(π/3) = sin(π/3) = √3/2. Значит, A(π/3; √3/2).
Вычисляем производную и её значение: f′(x) = cos x, поэтому f′(π/3) = 1/2. Это угловой коэффициент искомой прямой.
Подставляем в формулу: y = √3/2 + ½(x − π/3). В таком виде ясно видны и точка касания, и наклон.
Ответ: y = √3/2 + ½(x − π/3).
Для функции y = ln(x² + 1) найдём касательную при x₀ = 1, а затем её пересечение с осью абсцисс. Ордината точки задаётся логарифмом, а производную найдём по правилу дифференцирования сложной функции. Точка пересечения с осью абсцисс должна иметь координату y = 0.
Находим значение функции: f(1) = ln 2. Производная равна f′(x) = 2x/(x² + 1), поэтому f′(1) = 1.
Составляем уравнение касательной: y = ln 2 + 1·(x − 1), то есть y = ln 2 + x − 1. Оно задаёт все точки касательной.
Для пересечения с осью абсцисс полагаем y = 0: 0 = ln 2 + x − 1. Отсюда x = 1 − ln 2, а координаты пересечения — (1 − ln 2; 0).
Ответ: касательная y = ln 2 + x − 1; точка пересечения с осью абсцисс — (1 − ln 2; 0).
Вместо f(x₀) иногда подставляют x₀, путая абсциссу и ординату точки. Тогда прямая может пройти не через график в нужной точке. Проверьте значение функции отдельно и убедитесь, что при x = x₀ уравнение даёт y = f(x₀).
Другая ошибка — считать угловым коэффициентом значение функции f(x₀). Это число задаёт ординату точки, а наклон определяет производная f′(x₀). Чтобы проверить себя, подпишите, какое из двух значений является координатой, а какое — коэффициентом прямой.
При раскрытии формулы иногда записывают f′(x₀)x − x₀ вместо f′(x₀)(x − x₀). Так множитель ошибочно не умножает всё выражение в скобках. Проверяйте подстановку x = x₀: с правильными скобками добавка к f(x₀) становится нулём.
Можно найти производную верно, но забыть вычислить её именно при x = x₀, либо допустить ошибку при дифференцировании. Тогда наклон касательной окажется неверным. Сначала запишите f′(x), затем отдельно подставьте x₀ и проверьте результат по известным правилам производных.
Чтобы составить уравнение касательной, нужно знать производную, её геометрический смысл и правила дифференцирования. Также требуется уметь записывать уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Эти знания соединяются в формуле касательной: производная задаёт наклон, а функция — точку, через которую проходит прямая.
Уравнение касательной используют при исследовании функций и решении задач на экстремумы, а также в приближённых вычислениях. В математическом моделировании касательная помогает описать поведение функции вблизи выбранного значения аргумента. Поэтому тема связывает графическое представление функции с её локальным изменением.
Почему в уравнении касательной используется именно производная?
Производная в точке показывает мгновенную скорость изменения функции. Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной, то есть задаёт её наклон. Поэтому её подставляют в формулу прямой.
Как понять, в какой точке проводится касательная?
Обычно в условии указана абсцисса x₀, а ордината равна f(x₀). Если задана точка графика, её координаты сразу определяют точку касания. Касательная проходит через эту точку.
Что делать, если в условии дана ордината точки, а не её абсцисса?
Нужно решить уравнение f(x) = y₀, где y₀ — заданная ордината. Найденные значения x являются возможными абсциссами точки касания. Если решений несколько, следует рассмотреть каждую подходящую точку отдельно.
Всегда ли график функции имеет касательную в каждой своей точке?
Нет. Для обычной касательной функция должна быть определена и дифференцируема в точке. Например, в точке излома производная может не существовать, поэтому стандартную формулу касательной применить нельзя.
Чем касательная отличается от секущей?
Секущая пересекает график в двух или более точках, а касательная задаёт направление графика в одной точке. Её можно представить как предельное положение секущей, когда точки пересечения сближаются. Поэтому наклон касательной связан с производной.
5.2. Уравнение касательной
