"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Максимум и минимум помогают описать, где функция достигает локально наибольшего или наименьшего значения, а также решить задачи на оптимальный результат. По производной можно найти и проверить возможные точки экстремума: при смене знака с плюса на минус возникает максимум, с минуса на плюс — минимум. На отрезке для поиска абсолютных наибольшего и наименьшего значений нужно сравнить значения функции в критических точках и на концах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точкой максимума функции называют внутреннюю точку x₀ области определения, в некоторой окрестности которой выполняется f(x) ≤ f(x₀). Окрестность — это небольшой промежуток вокруг x₀; за его пределами поведение функции может быть любым. Значит, для максимума достаточно сравнить значения рядом с точкой, а не со всей областью. Это определение позволяет точно описать локальную вершину графика.
Точкой минимума функции называют внутреннюю точку x₀ области определения, в некоторой окрестности которой f(x) ≥ f(x₀). Иначе говоря, среди значений поблизости значение в самой точке не больше остальных. Точка минимума указывает, где график локально опускается ниже соседних участков. Условие относится только к достаточно близким x.
Максимумом функции называют значение f(x₀) в точке максимума x₀. Поэтому координата точки — это x₀, а максимум — соответствующее число f(x₀); эти понятия нельзя смешивать. Например, если максимум достигается при x₀ = −1 и f(−1) = 2, то точка максимума имеет абсциссу −1, а максимум равен 2. Такое различение нужно и при записи ответа.
Минимум функции — значение f(x₀) в точке минимума x₀. Оно может быть как положительным, так и отрицательным, независимо от того, где расположена сама точка. Например, при x₀ = 1 и f(1) = −2 минимум равен −2, а точка минимума имеет абсциссу 1. Максимум и минимум вместе называют экстремумами функции.
Локальный максимум или минимум сравнивает значение функции только с близкими значениями. Наибольшее и наименьшее значения, напротив, сравнивают функцию на всей области определения или на заданном промежутке. Поэтому локальный максимум может оказаться ниже значения функции далеко от точки, а локальный минимум — выше него. Например, на кубическом графике есть локальная вершина и локальная впадина, хотя функция не ограничена сверху и снизу на всей числовой прямой.
Экстремум рассматривают во внутренней точке области определения, потому что для сравнения с соседними значениями нужны точки и слева, и справа. У конца промежутка такой двусторонней окрестности внутри области нет. Окрестность формализует выражение «рядом с точкой»: существует небольшой интервал, в котором нужное неравенство выполняется для всех допустимых x. Благодаря этому точка может быть локальным экстремумом, даже если на удалённых участках функция принимает большие или меньшие значения.
Если функция дифференцируема в точке внутреннего экстремума, то f′(x₀) = 0. В точке максимума график перестаёт подниматься и начинает опускаться, а в точке минимума — перестаёт опускаться и начинает подниматься. Если бы наклон касательной в экстремуме был ненулевым, график продолжал бы идти вверх или вниз и не мог бы иметь там локальную вершину или впадину. На графике нулевая производная соответствует горизонтальной касательной; это необходимое условие, но не доказательство экстремума.
Надёжнее определять экстремум по изменению знака производной. Положительная производная означает возрастание функции, отрицательная — убывание. Поэтому переход с «+» на «−» означает, что функция сначала поднимается, а затем опускается: получается максимум; переход с «−» на «+» даёт минимум. Если знак производной не изменился, точка, где производная равна нулю, может не быть экстремумом.
На отрезке непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений, а найти их помогает конечный список кандидатов. Внутри отрезка проверяют критические точки — точки, где производная равна нулю или не существует, — и отдельно вычисляют значения на обоих концах. Затем сравнивают все полученные числа: самое большое будет наибольшим значением, самое маленькое — наименьшим. Проверка концов нужна, потому что максимум или минимум на отрезке может возникнуть именно там.
| Свойство | Максимум | Минимум |
|---|---|---|
| Неравенство в некоторой окрестности точки | f(x) ≤ f(x₀) | f(x) ≥ f(x₀) |
| Изменение знака производной | С «+» на «−» | С «−» на «+» |
| Значение производной в дифференцируемой точке | f′(x₀) = 0 | f′(x₀) = 0 |
| Положение графика | Переход от возрастания к убыванию | Переход от убывания к возрастанию |
| Проверка на отрезке | Сравнить значение в точке максимума с критическими точками и концами отрезка | Сравнить значение в точке минимума с критическими точками и концами отрезка |
Сначала применяйте знак производной, чтобы определить вид локального экстремума, а затем при необходимости вычислите значение функции. Строка о производной даёт лишь необходимое условие для дифференцируемого экстремума. Для абсолютного максимума или минимума на отрезке обязательно сравните найденные значения с результатами на концах.
Найдём производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Она обращается в ноль при x = −1 и x = 1. Эти точки делят числовую прямую на промежутки, где знак производной постоянен.
Проверим знак производной на промежутках. При x < −1 производная положительна, при −1 < x < 1 отрицательна, а при x > 1 снова положительна. Значит, функция сначала возрастает, затем убывает, после чего опять возрастает.
В точке x = −1 знак меняется с плюса на минус, поэтому там максимум; его значение f(−1) = −1 + 3 = 2. В точке x = 1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому там минимум; f(1) = 1 − 3 = −2.
Ответ: точка максимума x = −1, максимум равен 2; точка минимума x = 1, минимум равен −2.
Найдём критические точки внутри отрезка: f′(x) = 3(x − 1)(x + 1) равна нулю при x = −1 и x = 1. Обе точки принадлежат отрезку, поэтому проверим их вместе с концами x = −2 и x = 2.
Вычислим значения: f(−2) = −8 + 6 = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 8 − 6 = 2. Так мы учли все точки, в которых на отрезке может достигаться абсолютное наибольшее или наименьшее значение.
Сравним четыре результата. Самое большое число — 2, оно достигается при x = −1 и x = 2; самое маленькое — −2, оно достигается при x = −2 и x = 1.
Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее равно −2.
Обозначим одну сторону через x. Если стороны равны x и y, то 2x + 2y = 40, откуда y = 20 − x; допустимые значения: 0 < x < 20. Площадь становится функцией одной переменной: S(x) = x(20 − x) = 20x − x².
Найдём производную: S′(x) = 20 − 2x. Она равна нулю при x = 10. При x < 10 производная положительна, а при x > 10 отрицательна, следовательно, площадь сначала растёт, затем убывает и достигает максимума при x = 10.
Вторая сторона равна 20 − 10 = 10 см, а площадь — 10 · 10 = 100 см². Получился квадрат; это согласуется с тем, что при фиксированном периметре наибольшую площадь среди прямоугольников даёт квадрат.
Ответ: квадрат со стороной 10 см, его наибольшая площадь — 100 см².
Считать каждую точку, где f′(x) = 0, точкой экстремума, — ошибка: нулевая производная является необходимым, но не достаточным условием. Её допускают, принимая горизонтальную касательную за признак вершины или впадины. Проверка: исследуйте знак производной слева и справа; если он не меняется, смены возрастания на убывание или наоборот нет.
Путать координату точки экстремума x₀ со значением экстремума f(x₀) — значит записать не тот ответ. Координата показывает положение точки по оси x, а значение функции — высоту графика в этой точке. Чтобы проверить себя, подставьте x₀ в формулу функции и явно запишите оба числа. Например, x₀ = −1 и f(−1) = 2 — разные ответы на разные вопросы.
При поиске наибольшего значения на отрезке нельзя проверять только критические точки: максимум может находиться на конце. Такая ошибка возникает, если применять правило о производной, не учитывая границы рассматриваемого промежутка. Составьте полный список: критические точки внутри отрезка и оба его конца. Затем вычислите функцию во всех этих точках и сравните результаты.
Неверно определять вид экстремума, не учитывая направление смены знака производной. Переход «+» на «−» даёт максимум, а «−» на «+» — минимум; перепутать их легко, если запоминать только наличие смены. Проверьте смысл: плюс означает возрастание, минус — убывание. График, который сначала поднимается, а затем опускается, имеет максимум.
Для исследования экстремумов нужны область определения, понятия возрастания и убывания, производная и критические точки. Если хотя бы одна из этих идей неясна, сначала повторите её: именно через производную обычно находят возможные места изменения поведения функции. Дальше экстремумы используют при исследовании функций и построении их графиков, чтобы точнее описывать форму графика. Та же идея помогает решать задачи на оптимизацию в геометрии, физике и экономике: выражают нужную величину как функцию и ищут её наибольшее или наименьшее значение.
На графике y = x³ − 3x видны локальные вершина и впадина: это помогает связать определения с изменением функции.
Чем максимум функции отличается от её наибольшего значения?
Максимум — значение функции в точке локального максимума, то есть оно больше или равно значениям рядом с этой точкой. Наибольшее значение сравнивает функцию сразу на всей рассматриваемой области или промежутке. Локальный максимум может не быть наибольшим значением на всём промежутке.
Почему из f′(x₀) = 0 ещё не следует, что в точке x₀ есть экстремум?
Равенство производной нулю означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна, но не говорит, что функция меняет направление возрастания. Например, для f(x) = x³ производная равна нулю при x = 0, однако функция продолжает возрастать по обе стороны от этой точки. Для подтверждения экстремума проверяют поведение функции или смену знака производной.
Можно ли считать конец отрезка точкой локального максимума или минимума?
В принятом здесь определении точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения, поэтому конец отрезка точкой локального экстремума не называют. Однако на концах функция вполне может достигать наибольшего или наименьшего значения на отрезке. Поэтому при поиске абсолютных экстремумов концы обязательно проверяют.
Как определить вид экстремума по знакам производной?
Если производная меняет знак с плюса на минус, функция сначала возрастает, а затем убывает: это максимум. При переходе с минуса на плюс функция сначала убывает, а затем возрастает: это минимум. Если знак не меняется, одного условия f′(x₀) = 0 недостаточно для вывода об экстремуме.
Зачем при поиске наибольшего значения на отрезке проверять концы отрезка?
Наибольшее значение может достигаться не в критической точке внутри отрезка, а на одном из его концов. Производная внутри промежутка помогает найти возможных кандидатов, но не сравнивает их с граничными значениями. Поэтому нужно вычислить функцию во всех критических точках и на обоих концах, а затем сравнить результаты.
5.1. Максимум и минимум функции
