"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Теоремы о среднем связывают изменение функции на отрезке с её производной хотя бы в одной внутренней точке. Теорема Ролля применяется, когда значения на концах равны; теорема Лагранжа сравнивает приращение функции с длиной отрезка, а теорема Коши связывает изменения двух функций. Эти утверждения помогают исследовать монотонность, оценивать приращения и доказывать неравенства. Для каждой из них нужны непрерывность на отрезке и дифференцируемость внутри него.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема внутри него и f(a) = f(b), то найдётся c ∈ (a; b), для которого f′(c) = 0. Иными словами, при одинаковой высоте графика на концах где-то между ними есть горизонтальная касательная. Условие равенства концов отличает Ролля от более общей теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Если f непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), то найдётся c ∈ (a; b), такое что f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a). Правая часть — средняя скорость изменения функции на всём отрезке. Теорема позволяет найти точку, где мгновенная скорость изменения совпадает со средней.
Теорема Коши о среднем. Если функции f и g непрерывны на [a; b] и дифференцируемы внутри него, то существует c ∈ (a; b), для которого f′(c)(g(b) − g(a)) = g′(c)(f(b) − f(a)). Равенство связывает изменения обеих функций с их производными в одной точке. Оно обобщает теорему Лагранжа и не требует делить на приращение, которое может быть нулевым.
Точка, удовлетворяющая теореме о среднем — это внутренняя точка c ∈ (a; b), в которой выполняется заключение теоремы. Её не нужно путать с концом отрезка: производную в концах теорема не рассматривает. Поиск такой точки сводится к решению уравнения, которое задаёт заключение.
В теореме Ролля функция непрерывна на замкнутом отрезке, поэтому достигает на нём наибольшего и наименьшего значений. Если функция постоянна, её производная равна нулю во всех внутренних точках. Если она не постоянна, равные значения на концах означают, что хотя бы один максимум или минимум достигается внутри отрезка: иначе крайние значения не могли бы отличаться от общего значения на концах. Внутренний экстремум дифференцируемой функции даёт производную, равную нулю.
Теорему Лагранжа можно свести к случаю Ролля. Проведём прямую через точки графика с абсциссами a и b; её наклон равен (f(b) − f(a)) / (b − a). Вычтем из функции линейную функцию, задающую эту прямую, и получим вспомогательную функцию. На концах её значения совпадают, а непрерывность и дифференцируемость сохраняются, поэтому применима теорема Ролля. Равенство нулю производной разности и даёт формулу Лагранжа.
Формула Лагранжа имеет геометрический смысл: f′(c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой c, а отношение приращений — наклон секущей через концы дуги. Равенство этих коэффициентов означает, что касательная параллельна секущей. Например, для y = x² на [0; 2] наклон секущей равен 2; поскольку f′(x) = 2x, в точке c = 1 касательная имеет такой же наклон.
Теорема Коши получается сходным способом. Рассматривают вспомогательную функцию, построенную из f и g так, чтобы её значения на концах совпали; например, H(x) = f(x)(g(b) − g(a)) − g(x)(f(b) − f(a)). По теореме Ролля у неё есть внутренняя точка, где H′(c) = 0. Раскрытие производной приводит к равенству Коши; при g(x) = x оно превращается в формулу Лагранжа.
Все условия нужны для обоснования существования точки: непрерывность на [a; b] позволяет учитывать поведение функции на концах и достижение экстремума, а дифференцируемость внутри нужна для вывода о производной. Условия не утверждают, что подходящая точка одна: заключение говорит лишь о существовании хотя бы одной. Если какое-либо условие нарушено, теорему применять нельзя, даже если искомая точка случайно находится.
| Теорема | Условия | Заключение |
|---|---|---|
| Ролля | f непрерывна на [a; b], дифференцируема на (a; b), f(a) = f(b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c) = 0 |
| Лагранжа | f непрерывна на [a; b], дифференцируема на (a; b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a) |
| Коши о среднем | f и g непрерывны на [a; b], дифференцируемы на (a; b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c)(g(b) − g(a)) = g′(c)(f(b) − f(a)) |
Сначала сравните столбцы с условиями: для Ролля дополнительно требуется равенство значений на концах. Затем используйте заключение подходящей теоремы, чтобы составить уравнение для c. Во всех случаях проверяйте, что найденная точка лежит строго внутри отрезка.
Задача 1. Проверить применимость теоремы Ролля к f(x) = x² − 1 на [−1; 1] и указать точку, где производная равна нулю.
Ответ: теорема применима; производная обращается в ноль при c = 0.
Задача 2. Для f(x) = x² на [1; 3] найти точку, существование которой гарантирует теорема Лагранжа.
Ответ: c = 2.
Задача 3. Применить теорему Коши к f(x) = x² и g(x) = x на [1; 3] и найти возможную точку c.
Ответ: подходящая точка c = 2.
Проверять только дифференцируемость внутри отрезка. Так забывают о непрерывности на всём [a; b], потому что сосредотачиваются на производной в искомой точке. Без непрерывности теорема может не работать. Перед применением отдельно проверьте поведение функции на концах и внутри замкнутого отрезка.
Требовать дифференцируемости на концах. Это условие избыточно: в выводе производную ищут только при c ∈ (a; b). На концах нужна непрерывность, а дифференцируемость требуется лишь во внутренних точках. Проверяйте область действия каждого условия отдельно.
Считать точку единственной. Теорема гарантирует существование подходящей точки, но не запрещает другие решения. Единственность нельзя выводить из формулировки; проверяйте, сколько корней имеет уравнение для c.
Забывать равенство f(a) = f(b) в теореме Ролля. Его иногда пропускают, потому что условия непрерывности и дифференцируемости похожи на условия Лагранжа. Но именно равенство концов позволяет заключить, что производная где-то равна нулю. Сначала вычислите оба значения и сравните их.
Для работы с теоремами нужно знать, что значит непрерывность на отрезке и дифференцируемость внутри него, а также уметь находить производную. Теорема Лагранжа связывает наклон секущей с производной и тем самым соединяет графическое представление функции с вычислениями. Теоремы о среднем используют при исследовании монотонности, оценке приращений и доказательстве неравенств: они помогают перейти от поведения функции на целом отрезке к её производной в конкретной точке.
Чем теорема Ролля отличается от теоремы Лагранжа?
В теореме Ролля значения функции на концах отрезка должны совпадать, а вывод состоит в том, что где-то внутри производная равна нулю. В теореме Лагранжа равенство значений не требуется: производная в некоторой точке равна отношению общего приращения функции к длине отрезка.
Почему дифференцируемость проверяют только внутри отрезка?
Теорема утверждает существование точки с нужным значением производной именно внутри отрезка. На концах достаточно непрерывности, поскольку производная там для заключения теоремы не используется.
Как найти точку, существование которой гарантирует теорема Лагранжа?
Сначала проверь непрерывность функции на [a; b] и дифференцируемость внутри него. Затем реши уравнение f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a) и выбери решение, лежащее между a и b.
Может ли теорема о среднем гарантировать несколько подходящих точек?
Да. Теорема гарантирует существование хотя бы одной внутренней точки, но не утверждает, что она единственная. При решении уравнения для c могут обнаружиться несколько подходящих значений.
Для чего нужна теорема Коши о среднем?
Она связывает приращения двух функций с их производными в одной и той же внутренней точке. Теорема Лагранжа получается как частный случай, если взять вторую функцию g(x) = x.
5.4. Теоремы о среднем
