"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Иррациональными называют уравнения и неравенства, в которых переменная находится под знаком корня. При решении таких задач недостаточно выполнить привычные алгебраические преобразования: нужно следить, чтобы подкоренные выражения были допустимы, а возведение в квадрат не меняло смысл условия. Сначала находят область допустимых значений, затем выбирают преобразование с учётом знаков и в конце проверяют полученные решения в исходном выражении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. В отличие от уравнений, решаемых обычными равносильными алгебраическими преобразованиями, здесь возведение в чётную степень может добавить решения. Поэтому после преобразований важно контролировать условия на корни и проверять ответ.
Иррациональное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня. Его нельзя безусловно возводить в квадрат: если сравниваемые выражения имеют разные знаки, квадраты могут дать неверное сравнение. Область определения и знаки частей подсказывают, какой способ решения допустим.
Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все выражения уравнения или неравенства имеют смысл. Для корня чётной степени требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. ОДЗ отсекает значения, которые нельзя рассматривать даже как кандидатов на ответ.
Посторонний корень — значение, найденное в ходе преобразований, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат, потому что равенство квадратов не гарантирует равенства самих чисел. Подстановка в исходное выражение помогает обнаружить и исключить такой корень.
Сначала находят ОДЗ, потому что преобразование не может сделать допустимым выражение, которое изначально не имеет смысла. Для каждого квадратного корня записывают условие: подкоренное выражение не меньше нуля. Пересечение этих условий и есть множество значений, с которыми можно продолжать работу. Так заранее отбрасываются невозможные кандидаты и упрощается проверка ответа.
Чтобы убрать квадратный корень в уравнении, его обычно изолируют в одной части, а затем возводят обе части в квадрат. Но равенство √A = B означает не только A = B²: также необходимо A ≥ 0 и B ≥ 0. Если знак B не учесть, преобразованное уравнение может принять значения, для которых исходное равенство невозможно. Условия на знаки сохраняют равносильность шага.
Если в уравнении несколько радикалов, сначала удобно оставить один корень в одной части. После возведения в квадрат может появиться новый корень или произведение с радикалом; тогда нужный корень снова изолируют и повторяют действие. Каждый новый квадрат может расширить множество решений, поэтому преобразования выполняют с сохранением условий на знаки. В конце все кандидаты проверяют в исходном уравнении.
В неравенстве возведение в квадрат зависит от знаков обеих частей. Если обе части неотрицательны, сравнение сохраняется: A > B равносильно A² > B². Если правая часть отрицательна, а корень неотрицателен, сравнение корня с ней часто решается сразу, без квадратов. Поэтому область определения разбивают на случаи по знаку частей, выбирают для каждого случая равносильный приём и объединяют ответы.
Проверка подстановкой завершает решение, поскольку именно исходная запись задаёт условие задачи. Для уравнения нужно убедиться, что подстановка даёт определённые выражения и верное равенство. Для неравенства проверяют принадлежность ОДЗ и истинность исходного сравнения. Так обнаруживаются ошибки в вычислениях и посторонние корни, появившиеся при неравносильном преобразовании.
| Ситуация | Условие перед преобразованием | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Уравнение с корнем чётной степени | Подкоренное выражение неотрицательно; при изолированном корне учитывается знак другой части | Изолировать корень и возвести обе части в чётную степень | Подставить решения в исходное уравнение |
Сначала найди подходящую строку по виду задачи, затем проверь все условия перед преобразованием. Последний столбец напоминает, что полученные кандидаты нужно сверить с исходным условием, а не только с результатом возведения в квадрат.
Задача 1. Решить уравнение √(x + 1) = x − 1. Под корнем должно быть неотрицательное число, а правая часть равенства с неотрицательным корнем тоже не может быть отрицательной. Поэтому сначала объединим ограничения, а квадрат используем только после этого.
Ответ: x = 3. Условия на знаки позволили сразу отбросить неподходящий корень преобразованного уравнения, а подстановка подтвердила ответ.
Задача 2. Решить уравнение √(x + 2) = √(2x − 1). Здесь оба корня должны быть определены одновременно. После нахождения общей ОДЗ можно возвести обе неотрицательные части в квадрат и решить линейное уравнение.
Ответ: x = 3. Общая ОДЗ здесь не только гарантирует существование корней, но и позволяет убедиться, что найденное значение допустимо.
Задача 3. Решить неравенство √(x + 1) > x − 1. Подкоренное выражение требует x ≥ −1. Далее нужно разделить область по знаку правой части: при отрицательной правой части корень автоматически больше неё, а при неотрицательной можно обоснованно сравнить квадраты.
Ответ: x ∈ [−1; 3). Число 3 не входит в ответ, потому что при нём получается равенство, а не строгое неравенство.
Возводят обе части в квадрат, не проверив ОДЗ. Так в вычисления могут попасть значения, при которых подкоренное выражение отрицательно и исходный корень не определён; обычно это происходит из-за спешки. Перед преобразованием выпиши условия для каждого корня и проверь, что рассматриваемое значение им соответствует.
Возводят обе части неравенства в квадрат без сравнения их знаков. Ученик переносит правило для уравнений на сравнение, хотя квадраты чисел с разными знаками не сохраняют исходный порядок. Разбей область на случаи по знаку обеих частей и возводи в квадрат только тогда, когда это обосновано.
Считают все корни преобразованного уравнения решениями исходного. Это происходит потому, что после чётной степени исходное равенство может потерять информацию о знаке, и среди кандидатов появляются посторонние корни. Проверь каждое найденное значение по исходной записи, даже если оно входит в ОДЗ.
Проверяют ответ только в преобразованном уравнении. Но именно исходное условие содержит корни и ограничения, которые могли потеряться при упрощении. Подставляй кандидатов в первоначальную запись: оцени подкоренные выражения и убедись, что равенство или неравенство действительно верно.
Для решения нужны знания об области определения корня чётной степени, свойствах квадратного корня и решении квадратных уравнений. Они помогают правильно записать ОДЗ и выполнить вычисления после возведения в квадрат. Понимание равносильных преобразований и правил работы с неравенствами помогает не потерять смысл условия. Эти умения пригодятся при решении смешанных уравнений и систем с радикалами.
Почему после возведения уравнения в квадрат могут появиться лишние корни?
Возведение в квадрат не всегда равносильно исходному действию: например, равенство квадратов возможно и у противоположных чисел. Поэтому преобразованное уравнение может иметь решения, не подходящие исходному. Их выявляют подстановкой.
Нужно ли проверять решения, если область допустимых значений уже найдена?
Да. ОДЗ исключает значения, при которых исходное выражение не определено, но не гарантирует, что каждый найденный после преобразований корень удовлетворяет исходному уравнению. Проверяй кандидатов подстановкой.
Можно ли возводить в квадрат обе части неравенства?
Можно, если обе части неотрицательны: тогда сравнение их квадратов равносильно исходному. Если знаки различаются или одна часть отрицательна, сначала раздели область на случаи и обоснуй преобразование в каждом из них.
Как поступить, если в уравнении два квадратных корня?
Найди ОДЗ, изолируй один из корней и проверь знаки обеих частей перед возведением в квадрат. После преобразования изолируй оставшийся корень и при необходимости повтори действие, а затем проверь кандидатов в исходном уравнении.
Как учитывать знак выражения, стоящего справа от корня?
Корень чётной степени неотрицателен, поэтому в равенстве он требует неотрицательности правой части. Если справа стоит выражение с переменной, включи условие его неотрицательности в ОДЗ до возведения в квадрат.
§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства
