"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Модуль показывает расстояние числа от нуля и потому не бывает отрицательным. Если переменная находится под знаком модуля, решение зависит от знака выражения внутри него: модуль раскрывают по случаям или заменяют условие равносильной записью. Для уравнений это часто означает два возможных значения выражения, а для неравенств — промежуток или объединение промежутков. Главное — учитывать условия формул и проверять найденные корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — неотрицательное значение числа без учёта его знака: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = −a, если a < 0. Например, |−4| = 4, а |4| = 4. Геометрически модуль числа — расстояние от точки с координатой a до нуля на числовой прямой. Это определение помогает раскрывать знак модуля и понимать смысл условий с расстоянием.
Уравнение с модулем — уравнение, в котором переменная входит под знак модуля, например |x − 2| = 5. Значение выражения внутри модуля может быть как положительным, так и отрицательным, а само значение модуля остаётся неотрицательным. Поэтому способ решения зависит от знака выражения под модулем. Это позволяет свести уравнение к обычным уравнениям, рассмотрев подходящие случаи.
Неравенство с модулем — неравенство, содержащее модуль выражения, например |x + 1| < 2. Его решением называют все значения переменной, при которых условие верно. Ответ может быть одним промежутком, несколькими промежутками или пустым множеством. Представление о модуле как расстоянии помогает понять, какие значения переменной подходят.
Равносильные преобразования — переходы от одного уравнения или неравенства к другому, сохраняющие множество решений. При раскрытии модуля переход равносилен только при соблюдении условий о знаке выражения. Если эти условия потерять, в ответ могут попасть лишние значения или исчезнуть нужные. Поэтому найденные решения сопоставляют с условиями случаев и исходным заданием.
Модуль раскрывают в зависимости от знака выражения, стоящего внутри него. Если выражение неотрицательно, оно выходит из модуля без изменений; если отрицательно — с противоположным знаком, чтобы результат стал неотрицательным. Поэтому сначала находят нули выражения и определяют его знак на полученных промежутках. Для каждого промежутка выбирают верный вариант раскрытия, а затем оставляют только ответы, попавшие в рассматриваемый случай.
Равенство |f(x)| = a при a > 0 означает, что значение f(x) находится на расстоянии a от нуля. На числовой прямой таких чисел два: a и −a, поэтому уравнение заменяют двумя: f(x) = a или f(x) = −a. При a = 0 расстояние равно нулю только для f(x) = 0. Если a < 0, решений нет, потому что модуль не может принять отрицательное значение.
Неравенства с модулем тоже описывают расстояние. При |f(x)| < a и a > 0 расстояние от f(x) до нуля меньше a, значит, f(x) находится между −a и a. При сравнении с «больше» значение лежит за пределами этого промежутка — левее −a или правее a. Нестрогие знаки включают границы, поэтому дают двойное неравенство с включёнными концами или два луча с включёнными границами.
Если справа от модуля стоит выражение с переменной, его знак может меняться, поэтому считать его постоянным положительным числом нельзя. Например, для равенства |f(x)| = g(x) сначала требуется g(x) ≥ 0, иначе равенство невозможно. Затем рассматривают знак f(x) и раскрывают модуль отдельно в каждом случае. Найденные значения проверяют и в условии на g(x), и в исходном равенстве.
Когда под модулями стоят несколько выражений, на числовую прямую наносят нули каждого из них. Эти точки делят прямую на промежутки, где знаки всех выражений постоянны. На каждом промежутке модули можно заменить выражениями без знака модуля, учитывая соответствующие знаки. Решения, оказавшиеся на границах или за пределами выбранного промежутка, проверяют отдельно.
| Исходное условие | Условия | Равносильная запись |
|---|---|---|
| |f(x)| = a | a > 0 | f(x) = a или f(x) = −a |
| |f(x)| = a | a = 0 | f(x) = 0 |
| |f(x)| < a | a > 0 | −a < f(x) < a |
| |f(x)| ≤ a | a ≥ 0 | −a ≤ f(x) ≤ a |
| |f(x)| > a | a ≥ 0 | f(x) < −a или f(x) > a |
| |f(x)| ≥ a | a ≥ 0 | f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a |
Перед применением записи проверь, выполнено ли условие в среднем столбце. Для сравнений с отрицательным a сначала рассуждай о неотрицательности модуля, а не подставляй число в формулу. Если справа переменное выражение, отдельно учитывай его знак.
Ответ: x = −1; 4.
Ответ: x ∈ (−3; 1).
Ответ: x = 0.
Нельзя раскрывать модуль как само выражение, не выяснив его знак: при отрицательном значении модуль равен противоположному выражению. Так ошибаются, когда воспринимают вертикальные черты как лишние символы. Проверяй знак на каждом рассматриваемом промежутке и подставляй пробное значение, если сомневаешься. Например, при x − 1 < 0 верно |x − 1| = 1 − x.
В уравнении |f(x)| = a при a > 0 нужно учитывать оба случая, f(x) = a и f(x) = −a. Иногда записывают только первый, потому что забывают о симметрии расстояния относительно нуля. Для самопроверки представь числа, модуль которых равен a: это a и −a. Затем реши оба уравнения и проверь полученные значения.
Формулы для неравенств нельзя применять, не проверив знак a. При отрицательном a условие |f(x)| < a невозможно, а |f(x)| > a выполняется для любого допустимого x. Ошибка появляется, если формулу запоминают без её условия. Перед преобразованием сравни правую часть с нулём и рассуди, может ли модуль удовлетворять исходному знаку.
При разборе случаев недостаточно решить полученные уравнения: корень может не соответствовать условию, при котором раскрывался модуль. Такие значения часто оставляют в ответе, потому что проверяют только вычисления. Для каждого корня проверь знак выражения под модулем, границы допустимого случая и исходное условие. Это позволяет отсеять посторонние решения.
Для решения понадобятся определение модуля, навыки решения линейных уравнений и неравенств, а также умение изображать промежутки на числовой прямой. Разбиение прямой по нулям выражений под модулем связано с методом интервалов: внутри каждого промежутка знак не меняется. Эти приёмы используют и в более сложных уравнениях и неравенствах, при исследовании функций и в задачах на расстояние. Геометрический смысл модуля помогает переводить условия о расстоянии в алгебраические записи.
Почему при раскрытии модуля рассматривают два случая?
Выражение под модулем может быть положительным или отрицательным. В первом случае модуль оставляет его без изменения, во втором меняет знак на противоположный. Поэтому сначала выясняют знак выражения, а затем решают соответствующие случаи.
Всегда ли уравнение с модулем имеет два корня?
Нет. Например, уравнение |f(x)| = a при a > 0 приводит к двум уравнениям, но их корни могут совпасть, отсутствовать или только один из них подойти. При a = 0 остаётся условие f(x) = 0.
Что делать, если справа от модуля стоит выражение с переменной?
Нельзя сразу применять формулу для постоянного положительного числа. Сначала нужно учесть, что модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной. Затем разбирают знак выражения под модулем и проверяют найденные значения.
Как решить неравенство, если правая часть отрицательна?
Модуль всегда неотрицателен, поэтому условие |f(x)| < a при a < 0 решений не имеет. Неравенство |f(x)| > a при a < 0, напротив, выполняется при всех допустимых x. Для нестрогих знаков также отдельно проверяют, может ли равенство выполняться.
Зачем проверять корни после раскрытия модулей по случаям?
Каждое раскрытие верно только при условии о знаке выражения, на котором оно основано. При решении полученного уравнения могут появиться значения, не удовлетворяющие этому условию. Подстановка в исходное уравнение помогает исключить такие значения.
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями
