"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Равносильные неравенства — это неравенства, которые выполняются при одних и тех же значениях переменной. Их запись может выглядеть по-разному, но множество решений должно совпадать полностью. Это понятие помогает решать неравенства, выбирая удобные преобразования и проверяя, не появились ли лишние решения и не потерялись ли исходные. Главное — следить за условиями каждого действия: в частности, за знаком числа или выражения, на которое умножают либо делят.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные неравенства — это неравенства с одним и тем же множеством решений. Иными словами, каждое значение переменной, подходящее одному неравенству, подходит и другому, и наоборот. Поэтому сравнивают не форму записей, а полный набор подходящих значений.
Множество решений неравенства — все значения переменной, при которых оно верно. Например, для x > 2 это все числа больше 2. При проверке равносильности сравнивают именно два таких множества, а не отдельные примеры значений.
Переход к равносильному неравенству — преобразование, которое не меняет множество решений. Оно должно быть обратимым или выполненным с соблюдением условий, например известного знака множителя. Это позволяет заменить сложную запись более удобной, не изменив ответ задачи.
Следствие неравенства — неравенство, множество решений которого входит в множество решений исходного. Значит, всякое решение следствия подходит исходному, но исходное может иметь и другие решения. Поэтому одного направления преобразования недостаточно, чтобы утверждать равносильность.
Равносильность устанавливают сравнением множеств решений, потому что именно они показывают, при каких значениях переменной утверждение верно. Записи x > 2 и 2 < x выглядят по-разному, но задают одно множество чисел. И наоборот, похожий вид не гарантирует одинаковых решений: например, x > 2 и x ≥ 2 отличаются включением числа 2. При решении важно сохранять множество, а не внешний вид выражения.
Если к обеим частям прибавить одно и то же выражение, порядок между ними не изменится. Например, из a < b следует a + c < b + c, каким бы ни было число c. Операцию можно обратить: вычесть c из обеих частей и вернуться к исходной записи. Поэтому множество решений сохраняется, в том числе если прибавляемое выражение зависит от переменной.
При умножении или делении на положительное число порядок чисел сохраняется: на числовой прямой большее число остаётся правее меньшего. При умножении на отрицательное число направление меняется: точки отражаются относительно нуля, поэтому бывшее большее число оказывается левее. Отсюда правило: при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный. Делить, конечно, можно только на ненулевое число.
Выражение с переменной может быть положительным при одних значениях, отрицательным при других и равным нулю при третьих. Поэтому умножение или деление на него нельзя проводить по одному правилу для всей области: знак может сохранить неравенство или развернуть его, а деление в нуле вообще не определено. Нужно найти нули выражения, определить его знак на промежутках и отдельно проверить нулевые значения. Только после этого можно рассматривать случаи и делать равносильные переходы.
Возводить обе части в степень или применять другую функцию можно без потери решений лишь при подходящих условиях. Например, функция x² возрастает на неотрицательных числах, но не на всей числовой прямой: отрицательные числа при возведении в квадрат меняют порядок относительно положительных. Поэтому для чётной степени нужно проверить знаки обеих частей и область, где преобразование сохраняет порядок. Если обратный переход невозможен, новая запись может дать только следствие; исходные ограничения и найденные решения следует проверить.
| Преобразование | Условие | Что происходит со знаком | Равносильность |
|---|---|---|---|
| Прибавить одно и то же выражение к обеим частям | Выражение определено в рассматриваемой области | Не меняется | Да: прибавление можно обратить вычитанием |
| Умножить или разделить обе части на положительное число | Число положительно; для деления оно ненулевое | Не меняется | Да |
| Умножить или разделить обе части на отрицательное число | Число отрицательно; для деления оно ненулевое | Меняется на противоположный | Да, если изменить знак неравенства |
| Умножить или разделить на выражение с переменной | Знак известен; нули найдены и рассмотрены отдельно | При плюсе сохраняется, при минусе меняется | Только с учётом знака и области определения |
| Возвести обе части в чётную степень | Нужно проверить знаки частей и область монотонности | На всей числовой прямой порядок не сохраняется | Не всегда |
Таблица помогает быстро проверить, что именно нужно выяснить перед преобразованием и надо ли менять знак. Сначала установи условие в строке, затем проверь, обратимо ли действие и сохраняет ли оно множество решений. Если условие зависит от переменной, раздели задачу на случаи или выбери другой способ решения.
Решим неравенство 3x − 5 > 7. Цель — оставить переменную в одной части, а число в другой, выполняя действия, обратимые на каждом шаге. Сначала устраним вычитание 5, затем разделим на коэффициент при x. Число 3 положительно, поэтому знак останется прежним.
Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 > 7 + 5, откуда 3x > 12. Это равносильный переход, потому что к обеим частям прибавлено одно число.
Разделим обе части на 3: x > 4. Делитель положительный, поэтому направление знака не меняется.
Проверим границу: при x = 4 исходная запись даёт 7 > 7, что неверно; подходят только числа больше 4.
Ответ: x > 4.
Решим неравенство −2x + 1 ≤ 7. Сначала устраним слагаемое 1, а затем разделим на коэффициент −2. Здесь ключевой момент — отрицательный делитель: если оставить прежний знак, получится неверный порядок значений.
Вычтем 1 из обеих частей: −2x ≤ 6. Множество решений при этом не меняется.
Разделим обе части на −2 и изменим знак на противоположный: x ≥ −3. При делении на отрицательное число порядок чисел разворачивается.
Проверим границу x = −3: левая часть исходного неравенства равна 7, так что равенство допускается. Подходят также все числа больше −3.
Ответ: x ≥ −3.
Решим неравенство (x − 1)(x + 2) > 0. Делить на любой из множителей нельзя: неизвестно, положителен он или отрицателен, и каждый может обратиться в ноль. Вместо этого найдём места, где произведение меняет знак, и проверим промежутки между ними. Так учитываются сразу оба множителя.
Найдём нули: x − 1 = 0 даёт x = 1, а x + 2 = 0 даёт x = −2. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки (−∞; −2), (−2; 1) и (1; +∞).
На промежутке (−∞; −2) оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно. На (−2; 1) множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательно.
На промежутке (1; +∞) оба множителя положительны, значит, произведение положительно. Точки −2 и 1 не включаем: в них произведение равно нулю, а требуется строгое неравенство.
Ответ: x < −2 или x > 1.
Деление на выражение с переменной без проверки его знака и нулей может поменять направление неравенства или сделать действие неопределённым. Так ошибаются, распространяя правило деления на число на выражение, которое ведёт себя по-разному при разных x. Перед делением найди нули и знаки выражения на промежутках, отдельно проверь нулевые значения.
При делении или умножении на отрицательное число нельзя оставлять прежний знак. Причина ошибки часто в том, что ученик меняет коэффициенты, но забывает о перемене порядка чисел. Проверь действие на простом примере: 2 < 5, но после умножения на −1 получается −2 > −5.
Не всякое одинаковое действие над обеими частями автоматически даёт равносильное неравенство. Некоторые операции могут быть необратимыми или сохранять только одно направление включения множеств решений. Перед преобразованием спроси себя, можно ли вернуться к исходной записи и при каких условиях действие допустимо; затем проверь, не добавились ли решения.
Возведение обеих частей в чётную степень без проверки знаков может добавить посторонние решения, потому что квадрат не сохраняет порядок на всей числовой прямой. Например, при сравнении отрицательного и положительного чисел порядок квадратов может оказаться другим. Проверь знаки частей и область действия функции, а найденные значения подставь в исходное неравенство.
Чтобы применять правила равносильности, нужно знать свойства числовых неравенств и понимать, как действуют положительные и отрицательные числа. Эти свойства объясняют, почему при умножении на отрицательное число приходится менять знак. Если правила ещё не стали привычными, сначала отработай сравнение чисел на числовой прямой.
Множество решений — общая идея для линейных, квадратных и рациональных неравенств. В каждом случае ответ описывает значения переменной, а равносильные преобразования помогают найти их без изменения самого множества. При этом для рациональных выражений особенно важны нули знаменателя и область допустимых значений.
Равносильные преобразования нужны при решении систем неравенств: решения системы должны удовлетворять всем её условиям одновременно. Они также помогают проверять шаги в неравенствах с функциями, где нужно учитывать область определения и монотонность. Это позволяет отличать безопасное упрощение от перехода, который лишь даёт следствие.
Как понять, что два неравенства равносильны?
Нужно сравнить их множества решений — все значения переменной, при которых каждое неравенство верно. Если эти множества совпадают, неравенства равносильны, даже когда записаны по-разному.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение чисел на отрицательное число меняет их порядок на числовой прямой: например, из 2 < 5 получается −2 > −5. Поэтому при делении обеих частей на отрицательное число знак нужно развернуть.
Можно ли умножать неравенство на выражение с переменной?
Можно, если известен знак выражения на рассматриваемых значениях переменной: при положительном знаке неравенство сохраняется, при отрицательном меняется на противоположное. Нули выражения нужно рассмотреть отдельно, а если знак меняется, разбить решение на соответствующие случаи.
Всегда ли перенос слагаемого через знак равносильности меняет его знак?
Перенос — это краткая запись прибавления противоположного выражения к обеим частям. Например, перенести +5 означает прибавить −5 к обеим частям; операция обратима, поэтому множество решений сохраняется.
Почему возведение обеих частей в квадрат может добавить решения?
Квадрат не сохраняет порядок на всей числовой прямой: например, −3 < 2, но 9 > 4. Кроме того, равенство квадратов возможно у противоположных чисел, поэтому после возведения в квадрат могут появиться значения, не подходящие исходному неравенству.
§ 28. Равносильность неравенств
