1.6. Что означают слова «с точностью до...»

Определения и обозначения

Приближённое значение числа — число, которым заменяют точное значение, когда его не знают или не требуется указывать полностью. Например, при измерении длины запись 12 см может быть удобнее, чем длинная дробь. Такое значение помогает выполнять расчёты и сообщать результат в подходящем виде.

Точность приближения — предел, с которым сравнивают ошибку приближённого значения. Обычно его обозначают ε (эпсилон), а слова «с точностью до ε» задают допустимую границу. По точности можно понять, насколько близко приближение должно находиться к точному числу.

Абсолютная погрешность — модуль разности между точным и приближённым значениями: |x − a|, где x — точное значение, a — приближённое. Модуль показывает величину ошибки без учёта того, завысили или занизили результат. Сравнение погрешности с заданным пределом позволяет оценить качество конкретного приближения.

Округление до разряда — замена числа ближайшим числом с нужным количеством знаков или единиц указанного разряда. Например, округляя до десятых, оставляют один знак после запятой и выбирают ближайшее число такого вида. Это способ получить приближение, а его возможную ошибку оценивают отдельно.

Как это устроено

При измерениях нельзя получить бесконечно точный результат: прибор имеет ограниченную шкалу, а само измерение может зависеть от положения линейки или других условий. В вычислениях тоже встречаются числа, которые неудобно или невозможно записать полностью, например бесконечные десятичные дроби. Поэтому используют приближённые значения, сохраняя столько знаков, сколько нужно для задачи. Знание точности показывает, насколько можно доверять такому результату.

Чтобы связать точное и приближённое значения, находят их разность и берут её модуль: |x − a|. Если эта величина мала, приближение близко к точному числу; если велика, результат может оказаться недостаточно точным для задачи. Знак разности здесь не важен: ошибка одинаковой величины возникает и при завышении, и при занижении. Например, при x = 10,2 и a = 10 погрешность равна |10,2 − 10| = 0,2.

Фраза «с точностью до 0,1» обычно означает, что абсолютная погрешность меньше 0,1: |x − a| < 0,1. Это условие задаёт предел ошибки, но не говорит, каким способом получили a. Например, приближение могло появиться в результате измерения или вычисления, а не округления до десятых. Если a = 5, то условие допускает точные значения строго между 4,9 и 5,1.

При округлении до десятых выбирают ближайшее число с одним знаком после запятой. Соседние такие числа отличаются на 0,1, поэтому граница между ними находится на расстоянии 0,05 от каждого; ошибка округления не превосходит 0,05. Аналогично, при округлении до сотых предел равен 0,005, а до целых — 0,5. Это оценка для округления к ближайшему числу, а не для любого приближённого значения с таким количеством знаков.

Если известно приближённое значение a и предел ошибки ε, из |x − a| < ε следует −ε < x − a < ε. Прибавляя a ко всем частям, получаем a − ε < x < a + ε, то есть промежуток (a − ε; a + ε). Для округления к ближайшему разряду используют половину единицы этого разряда. В таком случае границы обычно включают, если правило округления допускает равенство; при точном попадании на середину нужно учитывать принятое правило округления.

Точность приближения и возможная погрешность

В таблице a — приближённое значение, а x — точное. Строгие границы в строках о точности следуют из условия |x − a| < ε; для округления указан предел ошибки при выборе ближайшего числа. Пользуясь таблицей, сначала определите, что дано в условии — предел точности или результат округления, — и только потом выбирайте интервал.

Разбор задач

Задача 1. Длина отрезка указана как 12 см с точностью до 1 см. Запишем, в каких пределах может находиться его точная длина. Здесь 12 см — приближённое значение a, а 1 см — предел погрешности ε. Из условия точная длина должна отличаться от 12 см меньше чем на 1 см.

1. Обозначим точную длину через x и запишем условие: |x − 12| < 1.
2. Отсюда получаем 12 − 1 < x < 12 + 1.
3. Значит, 11 см < x < 13 см; точная длина находится в интервале (11; 13) см.

Ответ: длина больше 11 см и меньше 13 см. Границы не включены, потому что условие задаёт погрешность меньше 1 см, а не не больше 1 см.

Задача 2. Число 3,14159 округлили до сотых. Найдём результат и оценим погрешность округления. До сотых оставляют два знака после запятой, а следующий знак показывает, нужно ли увеличить последнюю оставленную цифру. Сравним фактическую ошибку с предельной.

1. Оставляем 3,14 и смотрим на следующий знак: это 1, меньше 5, поэтому сотые не увеличиваем.
2. Приближённое значение равно 3,14.
3. Абсолютная погрешность равна |3,14159 − 3,14| = 0,00159. При округлении до сотых она не превосходит 0,005, поскольку половина единицы этого разряда равна 0,01 : 2.

Ответ: 3,14; погрешность равна 0,00159 и меньше 0,005. Это согласуется с оценкой для округления к ближайшему числу до сотых.

Задача 3. Известно, что число a приближённо равно 7,3 с точностью до 0,1. Может ли точное значение быть равно 7,42? Не нужно решать, как получили приближение: достаточно проверить условие о допустимой ошибке. Построим множество возможных значений и сравним с ним число 7,42.

1. Обозначим точное значение через x. Условие точности означает |x − 7,3| < 0,1.
2. Следовательно, 7,2 < x < 7,4.
3. Число 7,42 больше 7,4, поэтому оно не принадлежит полученному интервалу.

Ответ: нет, точное значение не может быть равно 7,42. Его отличие от 7,3 составляет 0,12, а это больше допустимой погрешности 0,1.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что «с точностью до 0,1» обязательно означает округление до десятых. Так думают, потому что число 0,1 похоже на единицу десятичного разряда, но точность сообщает только предел ошибки. Проверьте себя: условие точности можно записать как неравенство для разности, не зная способа получения приближения.

Точность и абсолютная погрешность — не одно и то же. Их путают, потому что обе связаны с ошибкой, однако точность задаёт допустимый предел, а погрешность показывает ошибку конкретного результата. Для проверки обозначьте точные и приближённые данные отдельно и вычислите модуль их разности.

При округлении до десятых нельзя считать максимальную ошибку равной 0,1. Это происходит, если перепутать шаг между соседними десятыми с расстоянием до границы округления. Проверьте оценку: соседние числа разделены на 0,1, поэтому половина шага равна 0,05.

Нельзя записывать границы промежутка, не выяснив, строгие они или нестрогие. При условии |x − a| < ε границы не входят в интервал, а при округлении к ближайшему числу возможны равенства на границах. Сначала запишите исходное условие, а затем решите, включать ли концы с учётом формулировки и правила округления.

Связь с другими темами

Для работы с приближениями нужно уверенно читать десятичную запись числа, сравнивать числа и округлять до заданного разряда. Эти навыки помогают определить, куда попадает значение и как изменится результат при округлении. Оценка погрешности применяется при измерениях и вычислениях с приближёнными данными: она показывает, достаточно ли точен ответ для поставленной задачи. Та же идея используется при изучении численных методов, где точные решения заменяют результатами вычислений.

Что запомнить

• Абсолютная погрешность равна модулю разности точного и приближённого значений.
• Слова «с точностью до ε» задают предел допустимой погрешности ε.
• Округление до ближайшего разряда даёт ошибку не больше половины единицы этого разряда.
• Чем меньше допустимая погрешность, тем выше точность приближения.
• Промежуток возможных точных значений зависит от смысла условия и способа округления.