1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби (Для тех, кому интересно)

Определения и обозначения

Бесконечная десятичная дробь — десятичная запись числа, у которой после запятой бесконечно много цифр. Например, в записи 1,414213… многоточие показывает, что цифры продолжаются. Такое понятие нужно, чтобы говорить о числе, десятичную запись которого нельзя закончить конечным количеством знаков.

Периодическая бесконечная десятичная дробь — дробь, в которой начиная с некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27. Периодическую запись удобно сокращать: её можно обозначить как 0,(27), а затем перевести в обыкновенную дробь.

Период дроби — наименьшая группа цифр, которая повторяется в периодической десятичной дроби. Например, в 0,333… периодом является одна цифра 3, а не группа 33. Поиск наименьшего периода помогает записать дробь кратко и не принять несколько повторов одной и той же группы за отдельный период.

Непериодическая бесконечная десятичная дробь — дробь, в записи которой цифры после запятой не образуют повторяющегося периода. Так записываются, например, числа √2 и π: их десятичные цифры не начинают повторяться одной и той же группой. Это определение помогает отличать иррациональные числа от рациональных, имеющих конечную или периодическую запись.

Как это устроено

При делении целого числа на другое после каждого шага получают остаток. Если делитель равен n, остаток может быть только одним из чисел 0, 1, 2, …, n − 1: он неотрицателен и меньше делителя. Таких вариантов конечное число, поэтому при бесконечном продолжении деления какой-то остаток неизбежно станет нулём или встретится повторно.

Когда остаток стал нулём, делить дальше нечего: все следующие цифры можно считать нулями, и десятичная запись конечна. Если повторился ненулевой остаток, следующий шаг деления даст ту же цифру частного, что и прежде. Затем повторится и следующий остаток, поэтому дальше будут снова возникать те же цифры в том же порядке — образуется период.

Для несократимой дроби можно заранее определить, закончится ли её десятичная запись, посмотрев на знаменатель. Конечная десятичная дробь равна дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, а такие числа раскладываются только на множители 2 и 5. Поэтому знаменатель после сокращения должен состоять из этих множителей; если в нём есть другой простой множитель, десятичная запись будет бесконечной периодической.

Любая периодическая десятичная дробь задаёт рациональное число, то есть число, которое можно записать в виде отношения целых чисел. Причина в том, что повторяющуюся часть можно убрать вычитанием. Например, если период состоит из двух цифр, умножение на 100 сдвигает запись на один период; после вычитания исходной записи бесконечные хвосты совпадают и сокращаются.

Бесконечные непериодические десятичные дроби соответствуют иррациональным числам. У таких чисел нельзя получить запись в виде отношения целых чисел, поэтому их десятичные цифры не заканчиваются и не повторяют один и тот же период. Примеры — √2 = 1,414213… и π = 3,141592…; многоточие указывает на продолжение записи, но не на повторение цифр.

Виды десятичных записей чисел

Таблица связывает устройство записи с видом числа, которое она задаёт. Сначала определи, заканчиваются ли цифры или повторяются, а затем сопоставь запись с соответствующей строкой. Примеры показывают, как обозначить период в сокращённой форме.

Разбор задач

Задача 1. Выполните деление 5 на 12 и укажите период полученной десятичной дроби.

1. Делим 5,0 на 12: целая часть равна 0, а в десятых 12 помещается 4 раза. Остаток равен 50 − 48 = 2, поэтому первая цифра после запятой — 4.
2. Сносим следующий ноль: 20 : 12 = 1, остаток 8. Следующая цифра — 1.
3. Теперь 80 : 12 = 6, остаток снова 8. Так как остаток повторился, дальше будет снова получаться цифра 6.

Получаем 5/12 = 0,41666… = 0,41(6). Начальная цифра 4 и цифра 1 не повторяются, поэтому период начинается после них; наименьший период — 6. Ответ: период дроби равен 6.

Задача 2. Определите, будет ли десятичная запись числа 7/40 конечной или периодической.

1. Сначала проверяем, можно ли сократить дробь: 7 и 40 не имеют общих делителей, кроме 1. Значит, дробь уже несократима.
2. Разлагаем знаменатель: 40 = 2³ · 5. В нём есть только простые множители 2 и 5.
3. По правилу для несократимой дроби заключаем, что десятичная запись конечна. Для проверки можно выполнить деление: 7/40 = 0,175.

Ответ: запись конечная, 7/40 = 0,175. Сокращение важно: только после него можно уверенно применять правило о множителях знаменателя. Если бы в знаменателе после сокращения остался, например, множитель 3, запись была бы периодической.

Задача 3. Представьте 0,(36) в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим x = 0,363636… Период содержит две цифры, поэтому умножаем равенство на 100: 100x = 36,363636…
2. Вычитаем первое равенство из второго: 100x − x = 36,363636… − 0,363636… Повторяющиеся части справа совпадают и сокращаются, поэтому 99x = 36.
3. Делим обе части на 99 и сокращаем полученную дробь: x = 36/99 = 4/11.

Ответ: 0,(36) = 4/11. Степень 10 выбирают по длине периода: для двух цифр это 100, для трёх — 1000. Если перед периодом есть неповторяющиеся цифры, сначала нужно сдвинуть запятую так, чтобы период оказался сразу после неё.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любую бесконечную десятичную дробь периодической. Бесконечность означает лишь, что запись не заканчивается; цифры могут не образовывать повторяющуюся группу. Чтобы проверить себя, найди повтор, который начинается с некоторого места и продолжается без изменений; если такого нет, периодической дробь называть нельзя.

Ошибка — назвать периодом группу цифр, которая повторяется, но не является наименьшей. Например, в 0,333… период — цифра 3, а группа 33 лишь состоит из двух повторов этого периода. Проверь, можно ли описать повторение более короткой группой: если можно, исходная группа не минимальна.

Ошибка — проверять множители знаменателя до сокращения дроби. В числителе и знаменателе могут быть общие множители, и после сокращения вид знаменателя изменится. Сначала приведи дробь к несократимому виду, затем разложи знаменатель на простые множители и применяй правило о 2 и 5.

Ошибка — считать, что 0,999… отличается от 1. Эти записи обозначают одно число: например, 0,999… = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … = 1. Проверяя ответ с бесконечной записью, не сравнивай числа только по первым нескольким цифрам: одинаковые значения иногда имеют разные десятичные записи.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в теме, нужно уметь делить с остатком: именно остатки объясняют появление повторяющихся цифр. Также понадобятся обыкновенные дроби и умение сокращать их, поскольку правило о знаменателе работает для несократимой дроби. Разложение натурального числа на простые множители помогает проверить, конечной или периодической будет запись.

Классификация десятичных записей связывает рациональные и иррациональные числа с их десятичным представлением. По виду дроби можно определить, к какому типу относится число, а периодическую дробь — перевести в обыкновенную. Это позволяет использовать привычные действия с дробями вместо бесконечной записи.

Что запомнить

• Конечная десятичная дробь является рациональным числом.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Повторение остатка при делении приводит к повторению цифр частного.
• Период — наименьшая повторяющаяся группа цифр.
• Несократимая дробь имеет конечную десятичную запись, если её знаменатель содержит только множители 2 и 5.
• Бесконечная непериодическая десятичная дробь задаёт иррациональное число.