"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. По этой записи можно определить коэффициенты, отличить квадратичную функцию от линейной и постоянной, а также предсказать форму графика. График квадратичной функции — парабола: знак коэффициента a показывает направление её ветвей, а его модуль влияет на ширину. Эти сведения станут основой для изучения свойств параболы и решения квадратных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Условие a ≠ 0 означает, что слагаемое с x² действительно присутствует и старшая степень переменной равна двум. Если a станет равен нулю, формула будет относиться к другому виду функции. Это условие помогает точно отличать квадратичную функцию от линейной и постоянной.
Коэффициенты квадратичной функции — числа a, b и c в записи ax² + bx + c. Число a перед x² называют старшим коэффициентом, b — коэффициентом при x, а c — свободным членом, то есть числом без переменной. Эти обозначения позволяют быстро описывать формулу и понимать, как она связана с графиком. Если слагаемое отсутствует, его коэффициент считают равным нулю.
Парабола — график квадратичной функции; он имеет характерную плавную форму с одной нижней или верхней точкой и двумя ветвями. При положительном a ветви направлены вверх, а при отрицательном — вниз. Поэтому по знаку старшего коэффициента можно заранее понять общее направление графика. Понятие параболы понадобится, чтобы изучать график и свойства квадратичной функции.
Квадратичной функцию делает наличие ненулевого слагаемого ax². Если a = 0, произведение ax² равно нулю и пропадает из формулы. Тогда при b ≠ 0 остаётся выражение bx + c, то есть линейная функция, а при b = 0 получается постоянная функция y = c. Поэтому условие a ≠ 0 не является формальностью: оно задаёт сам вид функции.
Чтобы найти коэффициенты, сравните упрощённую формулу с видом ax² + bx + c. Число, умноженное на x², — это a; множитель при x — b; отдельное число — c. Например, в y = 3x² − 2x + 1 имеем a = 3, b = −2, c = 1. Если в записи нет члена с x, как в y = 4x² − 1, значит, b = 0; отсутствие отдельного числа означает c = 0.
Формула может быть записана не в привычном порядке, поэтому сначала нужно привести подобные слагаемые. Например, в выражении y = x² + 2x − x² + 5 после сокращения членов с x² остаётся y = 2x + 5, и функция уже не квадратичная. И наоборот, краткая запись y = x² содержит ненулевой член второй степени, поэтому задаёт квадратичную функцию. Проверять нужно итоговую степень x, а не только внешний вид исходной записи.
График квадратичной функции является параболой: таков график выражения со второй степенью переменной, а добавление членов bx и c меняет положение графика, но не его характерную форму. Направление ветвей определяется знаком a, поскольку при больших значениях |x| наибольшее влияние оказывает член ax². При a > 0 значения выражения растут вверх по мере удаления от середины графика, а при a < 0 — уменьшаются вниз. Следовательно, знак старшего коэффициента даёт простой способ предсказать направление ветвей.
На ширину параболы влияет модуль старшего коэффициента, то есть число |a| без учёта знака. При большем |a| значение ax² быстрее меняется при одинаковом изменении x, поэтому ветви располагаются ближе к оси симметрии и график выглядит уже. При меньшем |a| изменение происходит медленнее, и парабола становится шире. Знак a при этом отвечает за направление ветвей, а его модуль — за ширину.
| Формула | Вид функции | Почему |
|---|---|---|
| y = 3x² − 2x + 1 | Квадратичная | Старшая степень x равна двум, коэффициент при x² равен 3. |
| y = −x² + 4 | Квадратичная | Коэффициент при x² равен −1; коэффициент при x равен нулю. |
| y = 5x − 2 | Линейная | Старшая степень x равна единице. |
| y = 7 | Постоянная | В формуле нет переменной x. |
Пользуйтесь таблицей так: сначала упростите формулу, если в ней есть подобные слагаемые, а затем найдите наибольшую степень x. Для квадратичной функции она должна быть равна двум, и коэффициент при x² не должен обращаться в ноль. Отсутствие других слагаемых не мешает функции быть квадратичной.
Определите, является ли функция y = 2x² − 3x + 1 квадратичной, и назовите её коэффициенты. Сначала сопоставим запись с общей формулой y = ax² + bx + c. Важно учесть знаки чисел, стоящих перед слагаемыми.
Найдём член со второй степенью: это 2x². Значит, a = 2, и коэффициент не равен нулю.
Определим остальные числа по их местам в формуле. Перед x стоит −3, а свободный член равен 1, поэтому b = −3 и c = 1.
Поскольку старшая степень переменной равна двум и a ≠ 0, условие определения выполнено. Значит, функция квадратичная.
Ответ: функция квадратичная; a = 2, b = −3, c = 1.
Определите, какие из функций y = 4x² − 1, y = 3x + 2 и y = 6 являются квадратичными. Сравнивать нужно степень переменной в каждой формуле, а не число слагаемых. Отдельно проверим, есть ли ненулевой член с x².
В формуле y = 4x² − 1 старшая степень x равна двум. Коэффициент при x² равен 4, поэтому функция квадратичная; отсутствующий член с x означает b = 0.
В формуле y = 3x + 2 переменная стоит в первой степени. Это линейная функция, а не квадратичная.
В формуле y = 6 переменной нет, поэтому функция постоянная. Квадратичной является только первая из трёх функций.
Ответ: квадратичная функция — y = 4x² − 1.
Найдите k, если функция y = (k − 2)x² + 3x − 5 не является квадратичной. Здесь коэффициент при x² записан не числом, а выражением с параметром. Чтобы функция перестала быть квадратичной, этот коэффициент должен обратиться в ноль.
Сравним данную запись с y = ax² + bx + c. Получаем a = k − 2, b = 3 и c = −5.
Приравняем старший коэффициент к нулю: k − 2 = 0. Решая это уравнение, получаем k = 2.
Проверим результат: при k = 2 член с x² исчезает, и остаётся y = 3x − 5. Это линейная функция, значит, она не квадратичная.
Ответ: k = 2.
Первая ошибка — считать функцию квадратичной при a = 0. Тогда слагаемое с x² исчезает, хотя в исходной записи оно могло быть заметно; так бывает, например, при подстановке параметра. Ошибку допускают, если не проверяют значение коэффициента. Для проверки найдите итоговый коэффициент перед x²: он должен быть отличен от нуля.
Вторая ошибка — определять вид функции по записи до упрощения. Слагаемые со второй степенью могут сократиться, поэтому видимый член x² ещё не гарантирует квадратичность. Сначала приведите подобные слагаемые и только затем найдите наибольшую степень x. Проверка итоговой формулы избавляет от неверного вывода.
Третья ошибка — принимать свободный член c за коэффициент при x². Такое смешение возникает, когда числа в формуле перечисляют, не обращая внимания на то, к какому слагаемому они относятся. Сверяйтесь с основой y = ax² + bx + c: a стоит именно перед x², а c не умножается на x. После этого можно проверить, что коэффициенты названы в правильном порядке.
Четвёртая ошибка — заключать, что функция не квадратичная, если в ней нет слагаемого bx. Отсутствие этого члена означает лишь b = 0, а член ax² может оставаться. Например, y = 4x² − 1 является квадратичной функцией. Проверьте наличие ненулевого коэффициента при x², а не количество слагаемых в записи.
Для работы с квадратичными функциями нужно уметь упрощать выражения и приводить подобные слагаемые: иначе можно неверно определить старшую степень. Знание линейной функции помогает увидеть различие между формулами bx + c и ax² + bx + c, а также сравнить их графики. Понятие параболы станет основой для изучения свойств квадратичной функции и её нулей. Позже оно поможет решать квадратные уравнения графическим способом.
Почему коэффициент a не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и в формуле больше нет члена со второй степенью x. Тогда функция становится линейной или постоянной, поэтому квадратичной её назвать нельзя.
Может ли квадратичная функция не содержать слагаемого с x?
Да. Если слагаемого bx нет, это означает, что b = 0, но коэффициент a при x² может быть ненулевым. Например, y = 4x² − 1 — квадратичная функция.
Как определить коэффициенты квадратичной функции?
Сначала приведите подобные слагаемые, затем сравните запись с y = ax² + bx + c. Число перед x² — это a, перед x — b, а число без x — c; если слагаемого нет, соответствующий коэффициент равен нулю.
Всегда ли график квадратичной функции является параболой?
Да, график функции вида y = ax² + bx + c при a ≠ 0 — парабола. Её положение и ширина могут меняться, но характерная форма сохраняется.
Как знак коэффициента a связан с направлением ветвей параболы?
При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Это связано с тем, что при больших по модулю значениях x знак выражения в основном определяется слагаемым ax².
2.1. Какую функцию называют квадратичной
