2.2. График и свойства функции у = ах2

Определения и обозначения

Функция y = ax² — это функция, заданная формулой, где a — ненулевое число, а x — независимая переменная. Число a называют коэффициентом. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы график оставался параболой, а не превращался в постоянную функцию.

Парабола — график функции y = ax². Её вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0), а ось симметрии совпадает с осью Oy. Эти сведения помогают сразу определить важные элементы графика ещё до построения точек.

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Кроме того, модуль коэффициента влияет на ширину графика. Поэтому по знаку и величине a можно заранее представить форму параболы.

Ветви параболы — две симметричные части графика, расположенные по разные стороны от оси Oy. Левая и правая ветви получают одинаковые значения y при противоположных значениях x. Это позволяет строить только одну сторону, а затем отражать её относительно оси симметрии.

Как это устроено

Чтобы построить график, выбирают несколько значений x, вычисляют для каждого y = ax² и отмечают полученные точки. Например, удобно брать значения −2, −1, 0, 1 и 2, потому что их квадраты легко найти. Чем больше подходящих точек нанесено, тем точнее можно провести плавную линию параболы.

График симметричен относительно оси Oy, потому что противоположные числа после возведения в квадрат дают один результат: a·x² = a·(−x)². Поэтому значения функции при x = 2 и x = −2 совпадают. Такая симметрия позволяет не вычислять повторно вторую точку из пары.

Вершина находится в точке (0; 0), поскольку x² не бывает отрицательным и достигает минимума при x = 0. При подстановке этого значения получаем y = a · 0² = 0. Для a > 0 это нижняя точка графика, а для a < 0 — верхняя.

Знак коэффициента задаёт направление ветвей, а его модуль — ширину параболы. Если увеличить |a|, то при одном и том же ненулевом x значение |y| станет больше, поэтому график быстрее удалится от оси Ox и будет уже. При уменьшении |a| точки приблизятся к оси Ox, и парабола станет шире.

При a > 0 функция убывает до вершины и возрастает после неё: при движении к нулю значения x² уменьшаются, а после нуля снова увеличиваются. При a < 0 знак меняется, поэтому порядок поведения обратный: до вершины функция возрастает, а после неё убывает. Границей двух промежутков в обоих случаях служит x = 0.

Свойства функции y = ax² в зависимости от коэффициента a

Сначала найдите знак коэффициента, а затем выберите нужный столбец. Таблица позволяет быстро определить свойства без повторного вывода формул, но промежутки монотонности нужно записывать с учётом точки x = 0.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Постройте график функции y = 2x², составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Нужно вычислить координаты точек и использовать симметрию графика.

1. Для x = −2 получаем y = 2 · (−2)² = 8, а для x = −1 — y = 2 · 1 = 2.
2. При x = 0 значение равно y = 0. Для положительных x получаем такие же результаты: при x = 1 — 2, при x = 2 — 8.
3. Отметьте точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8), а затем соедините их плавной линией. Коэффициент положителен, поэтому ветви направлены вверх.

Ответ: график проходит через указанные пять точек; это парабола с вершиной (0; 0), симметричная относительно Oy.

Задача 2

Условие. Для функции y = −3x² укажите область определения и множество значений, вершину, ось симметрии, промежутки возрастания и убывания. Все свойства определяются формулой и знаком коэффициента.

1. Квадрат определён при любом действительном x, значит, область определения: (−∞; +∞). Так как коэффициент отрицателен, y не может быть больше нуля.
2. Следовательно, множество значений: (−∞; 0]. Вершина — (0; 0), ось симметрии — Oy.
3. При движении от отрицательных x к нулю значения функции увеличиваются, а после нуля уменьшаются. Значит, функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞).

Ответ: D(y) = (−∞; +∞), E(y) = (−∞; 0], вершина (0; 0), ось Oy; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞).

Задача 3

Условие. График функции y = ax² проходит через точку (2; 12). Найдите a и опишите график. Координаты точки должны удовлетворять формуле функции.

1. Подставим x = 2 и y = 12: 12 = a · 2².
2. Так как 2² = 4, получаем 12 = 4a, откуда a = 3.
3. Коэффициент положителен, поэтому ветви направлены вверх. Поскольку |a| = 3 больше, чем у графика y = x², новая парабола будет уже него.

Ответ: a = 3; график — парабола y = 3x² с вершиной в начале координат и осью симметрии Oy.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при a < 0 ветви тоже направлены вверх. Её допускают, если смотрят только на квадрат и забывают про знак коэффициента. Проверьте себя: подставьте x = 1 — при отрицательном a получится отрицательное y, значит, график расположен ниже оси Ox.

Ошибка — указывать для любой параболы множество значений y ≥ 0. Это верно только при a > 0, а при a < 0 выполняется y ≤ 0. Для проверки определите знак произведения ax² при x ≠ 0.

Ошибка — не отмечать симметричные точки. Часто вычисляют значение только для положительного x, хотя точка с −x должна быть на графике с тем же y. Проверьте таблицу: значения в столбцах для x и −x должны совпадать.

Ошибка — считать, что больший по модулю коэффициент делает параболу шире. На самом деле при увеличении |a| значение |y| растёт быстрее, и график становится уже. Сравните точки при x = 1 или x = 2 у двух функций.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь возводить числа в квадрат, подставлять значения в формулу и отмечать точки на координатной плоскости. Эти действия составляют основу построения параболы.

Тема опирается на понятия функции, области определения, множества значений и чётности. Позже графики y = ax² помогут изучать квадратичную функцию и решать квадратные уравнения графическим способом.

Что запомнить

• В функции y = ax² коэффициент a не равен нулю.
• График функции y = ax² — парабола с вершиной в начале координат.
• Ось симметрии параболы — ось Oy.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Чем больше |a|, тем уже парабола.
• Функция убывает и возрастает по разные стороны от вершины.