2.3. Сдвиг графика функции у = ах2 вдоль осей координат

Определения и обозначения

Парабола — график функции y = ax² при a ≠ 0. У исходной параболы вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). Понимание исходного положения нужно, чтобы сравнивать с ним графики после переноса.

Сдвиг вдоль оси y — перенос графика вверх или вниз без изменения его формы. Если к значению функции прибавить число, каждая точка изменит свою координату y на одно и то же число. Это позволяет описывать вертикальное перемещение прямо в формуле.

Сдвиг вдоль оси x — перенос графика вправо или влево. Сдвиг вправо на m единиц записывается заменой x на x − m: новая точка получает прежнее значение функции, когда её абсцисса увеличена на m. Поэтому знак в скобках при горизонтальном переносе действует противоположно направлению сдвига.

Вершина параболы — точка, в которую при сдвиге перемещается начало координат, бывшее вершиной исходного графика. Для функции y = a(x − m)² + n вершина имеет координаты (m; n). По ней удобно сразу определить, где расположен график и где проходит его ось симметрии.

Как это устроено

В функции y = ax² + n к каждому прежнему значению y прибавляется одно и то же число n. Например, точка (x; ax²) переходит в точку (x; ax² + n), поэтому её абсцисса не меняется, а ордината увеличивается на n. При положительном n график поднимается, при отрицательном опускается, а вершина переходит из (0; 0) в (0; n).

Чтобы сдвинуть график вправо, аргумент x заменяют на x − m. Если на старом графике была точка с абсциссой t, то на новом графике то же значение функции получится при x − m = t, то есть при x = t + m. Значит, все точки перемещаются вправо на m единиц; вершина становится (m; 0). Замена на x + m аналогично переносит точки влево, и вершина оказывается в (−m; 0).

Горизонтальный и вертикальный переносы можно выполнить последовательно. Сначала замена x на x − m сдвигает параболу вправо на m, затем прибавление n поднимает её на n, поэтому получается y = a(x − m)² + n. Начало координат, бывшее вершиной, перемещается сразу в точку (m; n). Такой порядок помогает не путать два числа: m отвечает за положение по горизонтали, n — по вертикали.

Числа m и n задают только перенос, поэтому расстояния между точками графика остаются прежними и форма параболы не меняется. Направление ветвей тоже сохраняется: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Если нужно сравнить две параболы, сначала смотрят на коэффициент a, определяющий форму и направление, а затем на m и n, определяющие положение.

У исходной параболы ось симметрии — вертикальная прямая x = 0. После горизонтального переноса на m единиц все точки оси также перемещаются, поэтому она становится прямой x = m. Вертикальный сдвиг меняет только координаты y и не перемещает ось вправо или влево. Следовательно, в полной формуле положение оси симметрии определяется числом m.

Сдвиги графика y = ax²

В таблице указано, как формула связана с переносом графика, положением вершины и осью симметрии. Считайте m и n числами с их знаками: например, отрицательное n означает перенос вниз. По строке можно сначала найти вершину, а затем определить положение оси симметрии.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = x² + 3 и указать его вершину и ось симметрии. В формуле к исходной функции добавлено число, значит, перемещаются значения y, а абсциссы точек сохраняются. Удобно взять вершину и ещё несколько симметричных точек исходной параболы.

1. Сравниваем формулы y = x² и y = x² + 3: график сдвигается вверх на 3 единицы.
2. Вершина (0; 0) переходит в точку (0; 3), а ось x = 0 остаётся на месте.
3. Для построения можно взять точки исходного графика: (1; 1), (−1; 1), (2; 4), (−2; 4). После переноса получаем (1; 4), (−1; 4), (2; 7), (−2; 7).

Ответ: вершина (0; 3), ось симметрии x = 0; график — парабола y = x², сдвинутая вверх на 3 единицы. Точки по обе стороны от оси симметрии расположены попарно одинаково, поэтому по ним легко проверить построение. Ветви направлены вверх, поскольку коэффициент при x² положителен.

Задача 2. Построить график y = 2(x + 1)² и определить координаты вершины. Скобки содержат x + 1, а значит, график сдвинут влево, хотя число записано со знаком плюс. Коэффициент 2 сохраняет форму графика y = 2x², так что достаточно перенести его характерные точки.

1. Переписываем выражение в виде 2(x − (−1))². Значит, m = −1, а вертикального сдвига нет: n = 0.
2. Вершина исходного графика (0; 0) переходит в (−1; 0). Ось симметрии становится x = −1.
3. Для построения отмечаем вершину и точки на одинаковом расстоянии от оси: при x = 0 и x = −2 получаем y = 2, при x = 1 и x = −3 получаем y = 8. Соединяем точки плавной параболой.

Ответ: вершина (−1; 0), ось симметрии x = −1; график y = 2x² сдвинут на 1 единицу влево. Проверка подстановкой вершины помогает избежать ошибки со знаком: при x = −1 выражение в скобках обращается в ноль. Поскольку a = 2 > 0, ветви направлены вверх.

Задача 3. Для функции y = −(x − 2)² + 3 описать преобразование графика y = −x², построить его и указать вершину и ось симметрии. Сначала полезно заметить, что коэффициент a = −1 уже задаёт исходную параболу с ветвями вниз. Числа в скобках и вне их показывают перенос по двум координатам.

1. Замена x на x − 2 сдвигает график y = −x² вправо на 2 единицы.
2. Прибавление 3 переносит его вверх на 3 единицы. Поэтому вершина (0; 0) становится (2; 3), а ось симметрии — x = 2.
3. Берём точки на расстоянии 1 и 2 от вершины: при x = 1 и x = 3 получаем y = 2; при x = 0 и x = 4 получаем y = −1. Отмечаем их и проводим параболу, направленную ветвями вниз.

Ответ: график y = −x² сдвинут вправо на 2 и вверх на 3; вершина (2; 3), ось симметрии x = 2. Проверка формы состоит в сравнении точек, равноудалённых от оси: их значения y совпадают. Знак минус перед скобками подтверждает, что вершина является верхней точкой параболы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что x − m переносит график влево. Её допускают, потому что ориентируются на знак минус как на указание направления, не учитывая замену аргумента. Проверьте, при каком x скобка обращается в ноль: для x − m это x = m, значит, вершина переместилась вправо.

Ошибка: воспринимать y = ax² + n как горизонтальный сдвиг. Число n прибавляется к значениям функции, поэтому меняются ординаты точек, а не абсциссы. Для проверки сравните координаты: при одном и том же x значение y изменяется на n.

Ошибка: думать, что перенос меняет ширину или направление ветвей. Так может показаться, если вершину сравнивают с точками, взятыми на разном расстоянии от оси симметрии. Проверяйте коэффициент a: именно он задаёт форму и направление, а m и n лишь перемещают график.

Ошибка: записывать вершину функции y = a(x − m)² + n как (−m; n). Знак перед m внутри скобок иногда ошибочно переносят прямо в координату вершины. Подставьте x = m: квадрат станет равен нулю, и получится точка (m; n), что подтверждает правильный знак.

Связь с другими темами

Для работы со сдвигами нужно уметь строить график y = ax² и определять по коэффициенту a направление его ветвей. Также понадобятся знания координатной плоскости: координата x показывает положение по горизонтали, а y — по вертикали. Замена аргумента в выражении помогает объяснить, почему горизонтальный перенос записывается с противоположным знаком.

Эти умения пригодятся при построении графиков квадратичных функций, когда формулу можно представить в виде y = a(x − m)² + n. По такой записи быстро находят вершину и ось симметрии, а затем выбирают точки для построения. Это также помогает сравнивать разные параболы и понимать, как меняется их положение.

Что запомнить

• График y = ax² + n сдвинут на n единиц вдоль оси y.
• График y = a(x − m)² сдвинут на m единиц вправо при m > 0.
• В выражении x + m график сдвигается влево на m единиц.
• У функции y = a(x − m)² + n вершина имеет координаты (m; n).
• Ось симметрии сдвинутой параболы — прямая x = m.
• Сдвиг не меняет форму параболы и направление её ветвей.