"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Квадратичная функция y = ax² + bx + c, где a ≠ 0, задаёт параболу. Её график помогает увидеть, где функция возрастает и убывает, найти наибольшее или наименьшее значение и решить уравнение ax² + bx + c = 0. Положение вершины определяют коэффициенты a и b, а коэффициент c показывает пересечение с осью y. Зная эти свойства, можно построить график без громоздкой таблицы значений и понять, сколько уравнение имеет корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Коэффициент при x² не может быть нулём: иначе исчезнет квадратный член и функция перестанет быть квадратичной. По такой записи можно исследовать график и находить значения функции.
Парабола — график квадратичной функции. Если a > 0, её ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз. Это позволяет сразу понять, будет ли у функции наименьшее или наибольшее значение.
Вершина параболы — точка, в которой график меняет направление. Для функции y = ax² + bx + c её координаты равны (−b/(2a); f(−b/(2a))), где f(−b/(2a)) — значение функции при x = −b/(2a). Вершина нужна, чтобы определить экстремальное значение функции и начать построение графика.
Ось симметрии параболы — прямая, которая делит её на две зеркально одинаковые части. Для квадратичной функции это вертикальная прямая x = −b/(2a). Точки графика, расположенные на одинаковом расстоянии от этой прямой, имеют равные значения y.
Чтобы увидеть положение вершины, преобразуем выражение, выделив полный квадрат: y = ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Сравним результат с записью y = a(x − m)² + n: тогда m = −b/(2a), а n = c − b²/(4a). Поэтому вершина имеет координаты (m; n), а ось симметрии проходит через неё вертикально. Такой вид удобен: при x = m квадрат равен нулю, и значение функции равно n.
Знак a определяет направление ветвей, потому что квадрат (x − m)² не бывает отрицательным. При положительном a прибавка к n неотрицательна, поэтому график лежит на уровне вершины или выше неё; при отрицательном a значения не больше n. Модуль |a| задаёт масштаб по вертикали: при одинаковом отклонении x от вершины значение квадрата умножается на |a|. Поэтому при |a| > 1 парабола уже y = x², а при 0 < |a| < 1 — шире.
Коэффициенты помогают определить положение графика разными способами. Вместе a и b задают абсциссу вершины и ось симметрии: x = −b/(2a), так что изменение b может сдвинуть ось по горизонтали. Коэффициент c равен значению функции при x = 0, поэтому график пересекает ось y в точке (0; c). Это простой ориентир, который можно отметить до построения всей параболы.
Чтобы найти точки пересечения с осью x, нужно положить y = 0 и решить уравнение ax² + bx + c = 0. Число его действительных корней определяется дискриминантом D = b² − 4ac: при D > 0 корней два, при D = 0 один, а при D < 0 корней нет. Эти случаи соответствуют двум пересечениям, касанию оси и отсутствию общих точек с ней. Значит, вычисление дискриминанта заранее показывает, какие точки нужно искать на графике.
Для построения сначала найди вершину и проведи через неё ось симметрии, затем определи направление ветвей по знаку a. После этого отметь несколько точек: удобно брать значения x по обе стороны от оси на одинаковом расстоянии. Их ординаты совпадут, потому что парабола симметрична. Соедини точки плавной линией, не делая изломов и не нарушая симметрию.
| Что рассматриваем | Как определить | Что видно на графике |
|---|---|---|
| Направление ветвей | По знаку a | При a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз |
| Ширина параболы | По величине |a| | При |a| > 1 парабола уже y = x², при 0 < |a| < 1 — шире |
| Координаты вершины | x = −b/(2a), y = f(x) | Точка поворота параболы |
| Ось симметрии | x = −b/(2a) | Вертикальная прямая через вершину |
| Пересечение с осью y | При x = 0 получаем y = c | Точка (0; c) |
| Пересечения с осью x | Корни ax² + bx + c = 0 | Число точек определяется знаком D |
Пользуйся таблицей как планом исследования: сначала определи форму параболы и положение её вершины, затем проверь пересечения с осями. Если строишь график, отмечай характеристики на координатной плоскости и сверяй симметрию точек.
В таблице собраны признаки, которые отвечают на разные вопросы о графике: где он проходит, куда направлены ветви и сколько раз пересекает ось x. Некоторые характеристики связаны между собой: например, вершина лежит на оси симметрии.
Чтобы построение было точным, сначала найдём удобную форму записи и основные ориентиры. Коэффициент при x² положителен, значит, парабола будет направлена вверх. Корни уравнения y = 0 сразу дадут точки пересечения с осью x.
Ответ: парабола с вершиной (2; −1), осью симметрии x = 2 и ветвями, направленными вверх; для построения отметь точки (1; 0), (3; 0), (0; 3), (4; 3) и вершину.
Здесь удобно сначала найти абсциссу вершины по коэффициентам, а затем вычислить соответствующую ординату. Знак коэффициента при x² подскажет, в какую сторону продолжать ветви. Проверим вычисления преобразованием выражения.
Ответ: вершина (2; 3), ось симметрии x = 2, ветви направлены вниз.
На оси x значение y равно нулю, поэтому число пересечений совпадает с числом действительных корней уравнения 2x² − 3x + 4 = 0. Дискриминант позволит выяснить это до построения. Для эскиза также понадобятся положение вершины и направление ветвей.
Ответ: точек пересечения с осью x нет; эскиз — парабола с вершиной (3/4; 23/8), осью x = 3/4 и ветвями вверх.
Ошибка — считать c ординатой вершины. Это число показывает значение функции только при x = 0, поэтому задаёт точку пересечения с осью y. Чтобы проверить себя, подставь ноль в исходную функцию: получится y = c; вершину же найди отдельно.
В формуле оси симметрии иногда забывают множитель 2 и пишут x = −b/a. Так происходит, если формулу вспоминают неполностью или неверно выделяют полный квадрат. Проверка проста: запиши x² + (b/a)x как квадрат (x + b/(2a))² с поправкой; середина выражения подтверждает знаменатель 2a.
Знак a принимают за указание, в какую сторону сдвинута парабола. Но он отвечает за направление ветвей: вверх при a > 0 и вниз при a < 0, а горизонтальное положение оси зависит от отношения −b/(2a). Для проверки сравни знак a с видом квадрата в записи y = a(x − m)² + n.
Параболу пытаются провести через одну точку или рисуют две её части несимметричными. Одна точка не задаёт форму графика, а нарушение симметрии противоречит свойству параболы. Отметь вершину, проведи ось и возьми точки на равных расстояниях по обе стороны: соответствующие значения y должны совпасть.
Для изучения квадратичной функции полезны умения строить график y = x², выделять полный квадрат и решать квадратные уравнения. График помогает наглядно исследовать функции и решать неравенства: положение параболы относительно оси x показывает, где выражение положительно или отрицательно. В задачах на наибольшее и наименьшее значения вершина подсказывает экстремум, если рассматривается вся парабола.
Связь формул и графика позволяет проверять вычисления разными способами: корни уравнения отвечают точкам пересечения с осью x, а вершина — самой высокой или низкой точке параболы. Эти идеи понадобятся при дальнейшем изучении функций и их свойств.
Как это устроено
Почему в определении квадратичной функции обязательно условие a ≠ 0?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и выражение становится линейным или постоянным. Его график уже не парабола, поэтому такую функцию не называют квадратичной.
Как быстро найти координаты вершины параболы?
Вычисли абсциссу вершины по формуле x = −b/(2a). Затем подставь это значение в функцию и найди y; полученная точка (x; y) — вершина.
Как знак коэффициента a влияет на график?
При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а вершина является точкой минимума. При a < 0 ветви направлены вниз, и в вершине функция достигает максимума.
Как понять, пересекает ли парабола ось x?
Найди дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, парабола пересекает ось x в двух точках, если D = 0 — касается её в одной, а если D < 0 — не пересекает.
Можно ли построить параболу без составления таблицы значений?
Да. Найди вершину и ось симметрии, определи направление ветвей, а затем вычисли несколько точек с одной стороны от оси и отрази их симметрично. Точки пересечения с осями тоже помогают проверить эскиз.
2.4. График функции у = ах2 + Ьх + с
