"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. По её формуле можно определить коэффициенты, а по знаку a — направление ветвей графика. График такой функции называется параболой; её положение зависит от всех коэффициентов. Квадратичные функции помогают изучать графики и находить значения x, при которых функция равна нулю. Главное при распознавании — привести выражение к нужному виду и проверить коэффициент при x².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Если a равен нулю, слагаемое ax² исчезает, и в формуле остаётся выражение не выше первой степени x. Условие a ≠ 0 отделяет квадратичную функцию от линейной и постоянной. По этому признаку можно быстро проверить, к какому виду относится функция.
Числа a, b и c в записи ax² + bx + c называют коэффициентами квадратичной функции. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c не содержит x и называется свободным членом. Коэффициенты помогают описать формулу и понять особенности её графика. При этом b или c могут быть равны нулю: отсутствие одного из этих слагаемых не отменяет квадратичный вид.
Парабола — график квадратичной функции. У неё есть ветви, а их направление определяется знаком коэффициента a; положение и форма зависят также от остальных коэффициентов. Например, y = x² задаёт основную параболу, а изменение коэффициентов меняет её график. Знание этого помогает связывать запись функции с её изображением на координатной плоскости.
Чтобы распознать квадратичную функцию, сначала упростите выражение: раскройте скобки, если они есть, и приведите подобные слагаемые. Затем сравните результат с ax² + bx + c. Решающий признак — после упрощения коэффициент при x² не равен нулю, а других степеней x выше второй нет. Так проверка формулы не зависит от того, в каком виде она была записана сначала.
Слагаемые bx и c могут отсутствовать, потому что в общей записи их коэффициенты разрешено приравнять к нулю. В функции y = 3x² коэффициенты b и c равны нулю, но член 3x² остаётся. В функции y = x² − 4 отсутствует слагаемое с x, то есть b = 0, однако a = 1. Обе функции квадратичные: обязательна только ненулевая часть при x².
Коэффициент a определяет направление ветвей параболы, потому что он задаёт знак значения при старшем слагаемом ax². Если a > 0, график направлен вверх: значения функции при больших по модулю x возрастают. Если a < 0, знак квадратичной части противоположный, и ветви направлены вниз. Для распознавания направления не нужно строить график целиком — достаточно посмотреть на знак a.
Коэффициент c показывает значение функции при x = 0: при подстановке нуля слагаемые ax² и bx обращаются в ноль, поэтому y = c. Значит, c задаёт точку, в которой график пересекает ось y. Коэффициенты b и c также влияют на положение параболы, а изменение a может менять её форму и направление ветвей. Поэтому при сравнении графиков нужно учитывать всю запись, а не только один коэффициент.
График любой квадратичной функции — парабола; знакомая парабола y = x² служит отправной точкой для сравнения. В формуле этой функции a = 1, b = 0 и c = 0. При изменении коэффициентов график сдвигается или меняет форму, но остаётся параболой, пока коэффициент при x² не равен нулю. Если же он становится нулевым, формула перестаёт задавать квадратичную функцию.
В таблице указаны коэффициенты при x² и x, а также свободный член. Если какого-то слагаемого нет, соответствующий коэффициент равен нулю. Сначала найдите коэффициент при x², затем проверьте, что он не нулевой и выражение имеет нужный вид.
| Функция | a | b | c | Квадратичная? |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x² − 3x + 1 | 2 | −3 | 1 | Да |
| y = −x² + 4 | −1 | 0 | 4 | Да |
| y = 5x² | 5 | 0 | 0 | Да |
| y = 3x + 2 | 0 | 3 | 2 | Нет |
| y = x³ + 1 | — | — | — | Нет |
Задача 1. Определите, является ли функция y = 4x² − 7x + 2 квадратичной, и назовите её коэффициенты. Удобно сопоставить каждое слагаемое с общей записью ax² + bx + c. После такого сопоставления сразу видно, есть ли ненулевой коэффициент при x². Затем можно записать ответ с указанием всех трёх коэффициентов.
Ответ: функция квадратичная; a = 4, b = −7, c = 2. Проверка a ≠ 0 подтверждает, что член второй степени не исчезает.
Задача 2. Определите, какие из функций y = 3x² − 1, y = 2x + 5, y = −x² и y = x³ являются квадратичными. Не следует требовать, чтобы в формуле обязательно присутствовали все три слагаемых. Для каждой записи определите степень выражения и проверьте коэффициент при x². Если старшего члена второй степени нет или степень выше второй, функция не подходит.
Ответ: квадратичные функции — y = 3x² − 1 и y = −x². Нулевые b и c не мешают функции быть квадратичной, но степень выше второй не подходит.
Задача 3. При каком значении m функция y = (m − 2)x² + 3x − 1 не является квадратичной? В общей формуле коэффициент при x² должен быть отличен от нуля. Здесь этот коэффициент выражен через m, поэтому нужно найти, когда именно он обращается в ноль. Остальные слагаемые условия на квадратичность не меняют.
Ответ: m = 2. При этом значении слагаемое с x² исчезает, поэтому остаётся линейная функция.
Первая ошибка — считать y = bx + c квадратичной функцией, потому что в записи есть буквы b и c. Эти обозначения сами по себе ничего не говорят о степени: в таком выражении нет члена с x². Ошибку допускают, путая названия коэффициентов с признаком функции. Для проверки найдите именно коэффициент при x²: если он равен нулю, функция не квадратичная.
Вторая ошибка — требовать, чтобы b и c обязательно были ненулевыми. Тогда функции вроде y = 5x² ошибочно исключают, хотя в ней a = 5, а нулевые b и c допустимы. Обычно так происходит, когда общую формулу принимают за требование наличия каждого слагаемого. Проверьте только, что коэффициент при x² не равен нулю и степень не выше второй.
Третья ошибка — объявлять квадратичной любую формулу, где встречается x², не упрощая её. После раскрытия скобок подобные слагаемые могут сократиться, и коэффициент при x² станет нулевым; могут также появиться слагаемые более высокой степени. Чтобы избежать ошибки, сначала упростите выражение, приведите подобные слагаемые и лишь затем определяйте его вид. Сравнивайте итоговую формулу с ax² + bx + c.
Четвёртая ошибка — путать коэффициент a с b или c. Например, в y = 2x² − 3x + 1 число 2 относится к x², −3 — к x, а 1 не умножается на x. Путаница возникает, если смотреть только на числа, не связывая их со степенями переменной. Проверяйте, при какой именно степени x стоит каждое число, и только после этого называйте коэффициенты.
Для работы с квадратичными функциями нужно уметь упрощать выражения, приводить подобные слагаемые и определять степень одночлена и многочлена. Эти навыки помогают привести формулу к нужному виду и верно распознать её. Далее квадратичная функция понадобится при изучении свойств параболы и построении графиков. Она также связана с квадратными уравнениями: нули функции находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0.
Почему коэффициент a не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает. Тогда выражение становится линейным или постоянным, поэтому функция уже не квадратичная.
Может ли квадратичная функция не содержать x или свободного члена?
Да. Коэффициенты b и c могут равняться нулю, например y = 3x² или y = x² − 4. Обязателен только член ax² с a ≠ 0.
Как быстро определить, является ли функция квадратичной?
Упростите формулу и приведите подобные слагаемые. Если она имеет вид ax² + bx + c и коэффициент a не равен нулю, функция квадратичная.
Что показывает знак коэффициента a?
Он определяет направление ветвей параболы. При a > 0 ветви направлены вверх, а при a < 0 — вниз.
Почему график квадратичной функции называют параболой?
Парабола — это название кривой, которую образуют точки графика квадратичной функции. Например, график y = x² — парабола, а коэффициенты меняют её форму и положение.
Какую функцию называют квадратичной
