График и свойства функций y = ax2 вдоль осей координат

Определения и обозначения

Квадратичная функция y = ax² — функция, в которой a ≠ 0, а каждому значению x соответствует число ax². Коэффициент a влияет на форму и направление графика. Поэтому, исследуя функцию, сначала смотрят именно на знак и модуль этого коэффициента.

Парабола — график функции y = ax². Это плавная кривая, состоящая из двух ветвей, которые могут быть направлены вверх или вниз. Знание её формы позволяет строить график по нескольким точкам.

Вершина параболы — точка графика, в которой ветви сходятся и меняют направление движения; для y = ax² это точка (0; 0). Она помогает определить наименьшее или наибольшее значение функции. Вершина расположена на пересечении координатных осей.

Ось симметрии — прямая, делящая фигуру на зеркальные части; у графика y = ax² это ось Oy. Симметрия позволяет находить точки справа или слева от оси парами. Поэтому таблицу значений можно составлять для неотрицательных x и дополнять противоположными значениями.

Как это устроено

График проходит через начало координат, потому что при x = 0 выражение ax² обращается в ноль: y = a · 0² = 0. Кроме того, квадраты противоположных чисел равны: (−x)² = x². Поэтому точки (x; y) и (−x; y) имеют одинаковые ординаты и располагаются симметрично относительно Oy.

Знак a определяет направление ветвей, потому что x² не бывает отрицательным. При a > 0 произведение ax² неотрицательно, поэтому график находится на оси Ox или выше неё и раскрывается вверх. При a < 0 произведение отрицательно при x ≠ 0, поэтому ветви расположены ниже оси Ox и раскрываются вниз.

Модуль коэффициента изменяет расстояние графика от оси симметрии. При одном и том же ненулевом x значение |a|x² тем больше, чем больше |a|, поэтому точки сильнее удаляются от Ox и парабола выглядит уже. При уменьшении |a| значения становятся меньше, а ветви расходятся положе и выглядят шире.

Квадрат определён при любом действительном x, значит, область определения функции — вся числовая прямая. При a > 0 произведение ax² не меньше нуля, поэтому множество значений: y ≥ 0; ноль достигается в вершине. При a < 0 все значения не больше нуля, то есть y ≤ 0, а наибольшее значение равно нулю.

Чтобы определить возрастание и убывание, нужно мысленно двигаться по графику слева направо. При a > 0 значения сначала уменьшаются до нуля в вершине, а затем увеличиваются, поэтому функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). При a < 0 после вершины значения, наоборот, уменьшаются: функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞).

Свойства функции y = ax² в зависимости от коэффициента a

Таблица помогает быстро определить основные свойства функции по знаку коэффициента. Для ширины параболы дополнительно сравнивают модули коэффициентов: этот параметр в таблице не меняет направление ветвей, но меняет их раскрытие.

Разбор задач

Задача 1. Построение графика y = 2x²

Нужно построить график по таблице значений и назвать его основные элементы. Выберем значения x, расположенные симметрично относительно нуля. Затем вычислим y и нанесём полученные точки на координатную плоскость.

1. Составим таблицу: при x = −2 и x = 2 получаем y = 2 · 4 = 8; при x = −1 и x = 1 получаем y = 2; при x = 0 получаем y = 0.
2. Отметим точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8). Соединим их плавной линией, учитывая симметрию относительно Oy.
3. Коэффициент 2 положительный, поэтому ветви направлены вверх, а вершина находится в начале координат.

Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0) и осью симметрии Oy. Для построения достаточно отметить указанные точки и плавно соединить их.

Задача 2. Сравнение y = 0,5x² и y = 3x²

Требуется определить, какая парабола шире, и описать их взаимное расположение. У обеих функций коэффициенты положительны, поэтому обе параболы направлены вверх и имеют общую вершину.

1. Сравним модули коэффициентов: |0,5| < |3|. Значит, график y = 0,5x² шире, а график y = 3x² уже.
2. При одинаковом x ≠ 0 значение 3x² больше, чем 0,5x². Поэтому точки узкой параболы расположены выше точек широкой параболы с той же абсциссой.
3. Обе параболы пересекаются в точке (0; 0), а при других одинаковых x график y = 3x² находится выше.

Ответ: y = 0,5x² — более широкая парабола, y = 3x² — более узкая. Их общая вершина — (0; 0), и первая парабола при x ≠ 0 расположена ниже второй.

Задача 3. Свойства параболы по графику

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат. Нужно определить знак a, промежутки монотонности, область определения и множество значений.

1. Ветви направлены вниз, следовательно, коэффициент отрицателен: a < 0.
2. Квадратичное выражение определено при любом действительном x, поэтому область определения — (−∞; +∞).
3. Вершина даёт наибольшее значение y = 0, а остальные точки расположены ниже оси Ox. Значит, множество значений — (−∞; 0].
4. Слева направо график поднимается к вершине, а после неё опускается. Поэтому функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞).

Ответ: a < 0; область определения — все действительные числа; множество значений — y ≤ 0; функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при a < 0 парабола просто смещается вниз. На самом деле меняется направление ветвей, а вершина остаётся в точке (0; 0). Проверка: подставьте x = 0 и убедитесь, что y = 0.

Ошибка: путать влияние коэффициента на ширину графика. Чем больше |a|, тем уже парабола, потому что при том же x значение |y| больше. Проверка: сравните значения двух функций при x = 1.

Ошибка: указывать область определения x ≥ 0. Квадрат имеет смысл и для отрицательных чисел, поэтому подходят все действительные x. Проверка: подставьте, например, x = −2.

Ошибка: называть функцию возрастающей на всей числовой прямой. Движение по параболе меняется в вершине: при a > 0 она сначала убывает, а затем возрастает; при a < 0 порядок обратный. Проверка: разделите числовую прямую точкой x = 0.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны координатная плоскость, построение графика по таблице, свойства квадрата и понятия возрастания и убывания. Эти знания позволяют перейти к преобразованиям графиков, квадратичным уравнениям и неравенствам. Свойства параболы особенно важны при исследовании квадратичной функции и поиске наибольшего или наименьшего значения.

Что запомнить

• График функции y = ax² — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Ось симметрии любой параболы y = ax² — ось Oy.
• При a > 0 ветви параболы направлены вверх.
• При a < 0 ветви параболы направлены вниз.
• При увеличении |a| парабола становится уже.
• Область определения функции y = ax² — все действительные числа.
• Множество значений: y ≥ 0 при a > 0 и y ≤ 0 при a < 0.