1.1. Действительные числа

Определения и обозначения

Натуральное число — число, используемое при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Этот ряд называют натуральным, а множество натуральных чисел обозначают ℕ. В принятом здесь школьном соглашении ноль в натуральные числа не входит; это множество нужно, чтобы описывать счёт предметов и номера.

Целое число — это натуральное число, противоположное ему число или ноль. Например, вместе с 4 к целым относятся −4 и 0; множество целых чисел обозначают ℤ. Оно нужно, когда натуральных чисел недостаточно, например при записи температуры ниже нуля или долга.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −3 = −3/1 и 2/5 — рациональные числа; их множество обозначают ℚ. Такое определение позволяет включить в одно множество целые числа и дроби.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, обозначаемое ℝ. Оно охватывает все числа, которым соответствуют точки числовой прямой.

Как это устроено

Числовые множества расширяются, потому что для решения новых задач приходится добавлять числа, которых раньше не хватало. Натуральные числа входят в целые: к ним добавляют противоположные числа и ноль, получая ℤ. Каждое целое можно записать как дробь со знаменателем 1, поэтому ℤ входит в ℚ. Рациональные числа вместе с иррациональными составляют ℝ.

Если числитель и знаменатель дроби целые, а знаменатель не равен нулю, дробь задаёт рациональное число. Конечная десятичная дробь тоже превращается в обыкновенную: например, 0,75 = 75/100 = 3/4. Периодическая дробь также записывается обыкновенной дробью, потому что повторяющийся блок цифр позволяет получить точное отношение целых чисел. Поэтому десятичная запись рационального числа либо конечна, либо периодична.

У иррационального числа десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода. Если бы такая запись была периодической, число можно было бы представить обыкновенной дробью, а это противоречило бы определению иррационального числа. Например, √2 и π — иррациональные числа. Их десятичные записи можно приближённо вычислить, но нельзя точно завершить или свести к повторяющемуся блоку.

Рациональных чисел на прямой бесконечно много, но между любыми двумя различными рациональными числами можно найти ещё одно: например, их среднее. Однако одних дробей недостаточно, чтобы обозначить все точки прямой, поэтому рассматривают и иррациональные числа. Вместе эти два множества заполняют числовую прямую. Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, и каждой точке соответствует действительное число.

Положение чисел на прямой задаёт их порядок: меньшее число находится левее большего. Для сравнения можно представить числа как точки или найти их приближённые значения. Если сравниваются отрицательные числа, знак нужно учитывать отдельно: например, −5 < −2, хотя модуль числа −5 больше. Приближённые значения помогают расположить и иррациональные числа, но для точного сравнения полезно также применять оценки.

Числовые множества и их элементы

В таблице перечислены основные множества и приведены примеры их элементов. Одно и то же число может принадлежать сразу нескольким множествам, если множества вложены друг в друга. Сверяйся с определением каждого множества, а не только с видом записи числа.

Разбор задач

Задача 1. Определить, к каким числовым множествам принадлежат −4, 0, 3/5 и √7. Проверяем сначала, можно ли записать число как дробь целых чисел, затем учитываем вложенность множеств.

1. −4 — целое число, а любое целое представимо как дробь −4/1. Значит, −4 принадлежит ℤ, ℚ и ℝ.
2. 0 — целое и рациональное число: 0 = 0/1. В выбранном соглашении 0 не принадлежит ℕ.
3. 3/5 — рациональное число по определению дроби; оно также действительное.
4. √7 иррационально, поскольку 7 не является квадратом целого числа. Оно принадлежит ℝ, но не ℚ.

Ответ: −4 ∈ ℤ, ℚ, ℝ; 0 ∈ ℤ, ℚ, ℝ; 3/5 ∈ ℚ, ℝ; √7 ∈ ℝ и является иррациональным числом.

Задача 2. Записать 0,75 и 0,(3) в виде дробей и определить, рациональны ли они. У конечной дроби считаем разряды после запятой, а у периодической обозначение в скобках показывает повторяющуюся цифру.

1. В 0,75 два знака после запятой, поэтому 0,75 = 75/100.
2. Сократим дробь на 25: 75/100 = 3/4.
3. Обозначим x = 0,(3) = 0,333… Тогда 10x = 3,333…, и вычитание даёт 9x = 3.
4. Получаем x = 3/9 = 1/3.

Ответ: 0,75 = 3/4 и 0,(3) = 1/3; оба числа рациональны, потому что представлены дробями целых чисел с ненулевым знаменателем.

Задача 3. Расположить −√5, −2, 1,4 и √3 по возрастанию. Сначала оценим корни: так как 4 < 5 < 9, то 2 < √5 < 3, а значит, −3 < −√5 < −2. Также 1 < √3 < 2, поэтому для сравнения с 1,4 уточним: 1,4² = 1,96 < 3, следовательно, 1,4 < √3.

1. Из −3 < −√5 < −2 следует, что −√5 левее −2.
2. Оба отрицательных числа меньше положительных 1,4 и √3.
3. Для положительных чисел получено 1,4 < √3.
4. Соединяем сравнения в одну цепочку.

Ответ: −√5 < −2 < 1,4 < √3.

Типичные ошибки

Считать ноль натуральным при любом соглашении — ошибка: в одних определениях натуральный ряд начинается с 1, в других включает 0. Путаница возникает из-за разных договорённостей в источниках. Проверь, с какого числа начинается ряд в учебнике, и используй это правило последовательно.

Называть любую бесконечную десятичную дробь иррациональной неверно: периодическая дробь, например 0,(3), бесконечна, но равна 1/3. Ошибка возникает, если замечать только бесконечность записи и не проверять повторение цифр. Для проверки выясни, есть ли период; конечные и периодические десятичные дроби рациональны.

Не всякий корень из целого числа иррационален: √9 = 3, а 3 — рациональное число. Часто забывают, что корень из полного квадрата извлекается без остатка. Проверь, является ли подкоренное число квадратом целого числа; если да, корень целый и рациональный.

При сравнении отрицательных чисел нельзя ориентироваться только на модуль: −5 < −2, хотя |−5| > |−2|. Ошибка появляется, когда знак минус теряется при сравнении величин. Представь числа на прямой: среди отрицательных число с большим модулем находится левее.

Связь с другими темами

Для работы с действительными числами нужны знания о натуральных и целых числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также о числовой прямой. Они помогают определять вид числа и сравнивать его с другими. Действительные числа встречаются при решении уравнений и неравенств, вычислениях с корнями и задании координат точек. Поэтому умение различать множества становится основой для следующих тем алгебры и геометрии.

Что запомнить

• Каждое натуральное число является целым.
• Каждое целое число является рациональным.
• Рациональное число представимо дробью m/n, где m и n — целые, n ≠ 0.
• Рациональная десятичная дробь конечна или периодична.
• Иррациональная десятичная дробь бесконечна и непериодична.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• На числовой прямой меньшее число расположено левее большего.