"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Действительные числа — это все числа, которые можно изобразить точками на числовой прямой. Они делятся на рациональные, представимые обыкновенной дробью, и иррациональные, не представимые такой дробью. Различать их помогает десятичная запись: у рациональных она конечная или периодическая, а у иррациональных — бесконечная и непериодическая. Эти понятия нужны для сравнения чисел и вычислений с корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 5 = 5/1 и −3/7 — рациональные числа, как и конечная десятичная дробь 0,4 = 4/10. Такое представление позволяет включить в один класс целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Знаменатель не может быть нулём, потому что деление на ноль не определено.
Иррациональное число нельзя представить дробью двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры продолжаются без конца и не повторяются одной и той же группой. Например, √2 — иррациональное число. Это определение помогает отличить такие числа от дробей, даже если их десятичная запись кажется похожей на случайную.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Например, −2, ¾ и √5 — действительные числа, хотя относятся к разным видам. Каждое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой, а значит, числа можно сравнивать по их расположению. Именно действительные числа обычно используются для измерения длины, температуры и других величин.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это бесконечная запись, в которой после некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27, поэтому её обозначают короче: 0,(27). Такая запись не означает иррациональность: периодические дроби относятся к рациональным числам. Период может начинаться сразу после запятой или после нескольких неповторяющихся цифр.
Множество действительных чисел состоит из двух частей: рациональных и иррациональных. Эти части не пересекаются: одно и то же число не может одновременно выражаться и не выражаться дробью целых чисел. На схеме вложенности большой круг действительных чисел можно разделить на два меньших — рациональные и иррациональные; внутри рациональных отдельно показывают целые и натуральные числа. Такая схема напоминает, что натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
У рационального числа десятичная запись обязательно конечная или периодическая. При делении числителя на знаменатель возможны только конечное число остатков: если деление не заканчивается, какой-то остаток повторится, а вместе с ним начнут повторяться цифры частного. Например, 1/3 = 0,333… Конечная запись также может быть продолжена нулями, поэтому 0,4 и 0,4000… обозначают одно и то же число.
Квадратный корень √a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Если целое a — точный квадрат, например 9 = 3², то √9 = 3 и корень рационален. Если целое число не является точным квадратом, его корень иррационален: например, между 1² = 1 и 2² = 4 лежит 2, поэтому √2 не может быть целым; его десятичная запись не заканчивается и не становится периодической. Аналогично √7 находится между 2 и 3, поскольку 2² < 7 < 3².
Числовая прямая связывает числа с точками: каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, и каждой точке соответствует ровно одно действительное число. Чтобы отметить число, выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и направление; положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева. Между двумя разными точками можно найти ещё точки, поэтому на прямой есть место и для дробей, и для иррациональных чисел. Эта связь позволяет переводить сравнение чисел в сравнение их положения.
Иррациональное число обычно задают приближённо конечной десятичной дробью, потому что записать все его цифры невозможно. Например, √7 ≈ 2,65 — это приближение, а не точное равенство. Если истинное значение заключено между 2,64 и 2,65, то запись 2,64 отличается от него меньше чем на 0,01; это и есть точность до сотых. Чтобы найти границы, сравнивают квадраты десятичных чисел с подкоренным числом: возведение положительных чисел в квадрат сохраняет порядок.
| Вид числа | Как распознать | Десятичная запись | Пример |
|---|---|---|---|
| Рациональные числа | Представляются дробью m/n, где m и n — целые, n ≠ 0 | Конечная или бесконечная периодическая | 5 = 5/1; 0,4; 0,(3) |
| Иррациональные числа | Нельзя представить дробью двух целых чисел | Бесконечная и непериодическая | √2; √7 |
| Действительные числа | Любое рациональное или иррациональное число | Конечная, периодическая или бесконечная непериодическая | −3; 2/5; √5 |
Сначала проверьте, можно ли представить число дробью целых чисел: если можно, оно рациональное. Если десятичная запись бесконечная, выясните, повторяется ли в ней период: периодическая запись остаётся рациональной, непериодическая — иррациональная. Все числа в таблице являются действительными.
Определить, какие из чисел 5, −3/7, 0,4 и √2 рациональны, а какие иррациональны. Для каждого числа проверим, можно ли записать его в виде дроби целых чисел. У корня отдельно проверим, является ли подкоренное число точным квадратом. Это позволит классифицировать числа, не опираясь только на внешний вид записи.
Ответ: рациональные числа — 5, −3/7 и 0,4; иррациональное число — √2. Проверка состоит в том, что первые три записи можно привести к дроби целых чисел, а √2 — нельзя. Не следует принимать корень за рациональный только потому, что под ним стоит целое число.
Записать 7/12 в виде десятичной дроби и определить, конечная она или периодическая. Выполним деление 7 на 12 столбиком, при необходимости дописывая нули к остатку. Если остаток станет нулём, дробь закончится; если остаток повторится, начнут повторяться цифры. Повторяющиеся остатки означают, что дальше процесс деления будет идти так же.
Ответ: 7/12 = 0,58(3), запись бесконечная периодическая. Период начинается после цифр 58, поэтому в скобки заключена только цифра 3. По правилу десятичной записи это рациональное число, что согласуется с исходной дробью.
Заключить √7 между двумя соседними десятыми дробями и записать приближение с точностью до 0,01. Сначала найдём целые границы: 2² = 4, а 3² = 9, следовательно, √7 находится между 2 и 3. Затем проверим квадраты десятых дробей около искомого числа. Для сотых понадобится ещё более узкий интервал.
Ответ: между соседними десятыми дробями √7 заключено так: 2,6 < √7 < 2,7; приближение с точностью до 0,01 — √7 ≈ 2,65. Оно не является точным равенством. Проверка квадратами показывает, что число действительно находится между 2,64 и 2,65, а при округлении до сотых ближе к 2,65.
Ошибка — считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Её допускают, потому что бесконечность записи путают с отсутствием периода; например, 0,(3) бесконечно, но равно 1/3. Проверяйте, повторяется ли группа цифр: периодическая дробь рациональна, а иррациональная запись непериодична.
Ошибка — считать конечную десятичную дробь отдельным от рациональных чисел видом. Кажется, что запись с запятой отличается от обыкновенной дроби, но 0,4 = 4/10 = 2/5. Для проверки перенесите запятую и запишите число дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, затем при необходимости сократите.
Ошибка — считать иррациональным корень из любого числа. Например, √9 = 3, потому что 9 — точный квадрат; такое заблуждение возникает, если судить только по знаку корня. Найдите квадрат ближайших целых чисел: если подкоренное число — точный квадрат, корень рационален, а если это целое число между соседними квадратами, его корень иррационален.
Ошибка — принимать приближённое значение иррационального числа за само число. Запись √7 ≈ 2,65 означает, что число близко к 2,65, но не равно ему точно; конечное число цифр не передаёт бесконечную запись корня. Проверяйте знак: для приближения используют ≈, а для точного равенства — =, и уточняют заданную точность.
Для этой темы нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, целых числах и делении с остатком. Они помогают понять, почему рациональные десятичные записи заканчиваются или становятся периодическими; понятие квадратного корня позволяет исследовать примеры иррациональных чисел. Классификация чисел пригодится при сравнении, решении уравнений и неравенств и изучении числовых промежутков. Приближения иррациональных чисел используют в вычислениях и при нахождении координат точек на прямой и координатной плоскости.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно записать как дробь m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Иррациональное число такой дробью представить нельзя; его десятичная запись бесконечна и не имеет периода.
Почему бесконечная периодическая дробь является рациональным числом?
Периодическая запись означает, что после некоторого места цифры повторяются, поэтому число можно выразить дробью целых чисел. Например, 0,(3) = 1/3. Значит, бесконечная запись сама по себе не делает число иррациональным.
Как определить, рационально ли число под знаком квадратного корня?
Если подкоренное число — точный квадрат целого числа, его корень целый и рациональный: √9 = 3. Если целое подкоренное число не является точным квадратом, его квадратный корень иррационален, например √7. Для других подкоренных чисел нужно учитывать, можно ли представить корень дробью целых чисел.
Может ли конечная десятичная дробь быть иррациональной?
Нет. Конечную десятичную дробь всегда можно превратить в обыкновенную: например, 0,4 = 4/10 = 2/5. Поэтому любая конечная десятичная дробь рациональна.
Как приближённо записать иррациональное число с заданной точностью?
Найдите две соседние десятичные дроби, между которыми находится число, и оставьте нужное число знаков после запятой. Например, для точности до 0,01 границы должны отличаться на 0,01. Проверить положение √7 помогают квадраты границ: нижний квадрат меньше 7, верхний — больше.
Действительные числа
