"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Квадратное неравенство сравнивает с нулём выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Чтобы решить его, находят нули трёхчлена, делят ими числовую прямую на промежутки и определяют знак выражения на каждом из них. Направление ветвей параболы подсказывает, где трёхчлен положителен или отрицателен, а знак неравенства — включать ли корни в ответ. Этот способ помогает уверенно решать неравенства с любым дискриминантом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Буква x обозначает переменную, а a, b и c — числа. Решить такое неравенство значит найти все значения x, при которых сравнение верно.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c. При решении неравенства именно его знак нужно исследовать: положителен он, отрицателен или равен нулю. Поэтому удобно обозначить трёхчлен, например, f(x).
Дискриминант квадратного трёхчлена — число D = b² − 4ac. По его значению узнают, сколько уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительных корней. Это позволяет выбрать подходящий способ исследования знака, даже если корни нельзя разложить на множители.
Нули квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. В этих точках выражение меняет знак или касается нуля, поэтому нули отмечают на числовой прямой. Они задают границы промежутков, где знак трёхчлена исследуют отдельно.
Сначала все слагаемые переносят в одну часть неравенства, а в другой оставляют ноль. Так сравнение получает вид ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0. Это удобно, потому что дальше нужно исследовать только один трёхчлен и сравнивать его знак с нулём. Если при преобразовании умножают или делят обе части на отрицательное число, знак неравенства обязательно меняют.
Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — точки, где график трёхчлена пересекает или касается оси Ox. Между такими точками график не может перейти с одной стороны оси на другую, не пересекая её. Поэтому на каждом промежутке, на который корни делят прямую, знак трёхчлена постоянен. Если корней нет, график вообще не встречает ось и знак сохраняется на всей прямой.
График y = ax² + bx + c — парабола, а знак a определяет направление её ветвей. При двух корнях и a > 0 ветви направлены вверх: снаружи корней график выше оси, а между ними ниже. При a < 0 ветви направлены вниз, поэтому знаки меняются на противоположные. Так можно определить знаки на промежутках, не подставляя в выражение много пробных чисел.
Дискриминант D = b² − 4ac помогает заранее понять, сколько точек пересечения параболы с осью Ox. Если D > 0, есть два корня; если D = 0, один двойной корень; если D < 0, действительных корней нет. При D < 0 знак трёхчлена всюду совпадает со знаком a, потому что парабола остаётся целиком выше или ниже оси. При D = 0 она касается оси в одной точке и по обе стороны от неё сохраняет знак.
Знаки > и < задают строгие неравенства: значение трёхчлена должно быть именно положительным или отрицательным, поэтому нули не подходят. Знаки ≥ и ≤ допускают равенство нулю, значит, корни включают в решение. На числовой прямой строгие границы обычно изображают пустыми точками, а включённые — закрашенными. В записи ответа это различие показывают круглыми и квадратными скобками.
В таблице x₁ < x₂ — два корня, x₀ — двойной корень, а ℝ — вся числовая прямая. Знак «∪» означает объединение промежутков. Сначала выберите столбец по знакам a и D, затем найдите строку с нужным видом неравенства.
| Свойство | a > 0, D > 0 | a < 0, D > 0 | a > 0, D = 0 | a < 0, D = 0 | a > 0, D < 0 | a < 0, D < 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Направление ветвей параболы | Вверх | Вниз | Вверх | Вниз | Вверх | Вниз |
| Расположение корней | x₁ < x₂ | x₁ < x₂ | x₀, двойной | x₀, двойной | Нет действительных корней | Нет действительных корней |
| Знаки трёхчлена на промежутках | + вне, − между | − вне, + между | + по обе стороны, 0 в x₀ | − по обе стороны, 0 в x₀ | Всегда + | Всегда − |
| Решение f(x) > 0 | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (x₁; x₂) | ℝ \ {x₀} | ∅ | ℝ | ∅ |
| Решение f(x) ≥ 0 | (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) | [x₁; x₂] | ℝ | {x₀} | ℝ | ∅ |
| Решение f(x) < 0 | (x₁; x₂) | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | ∅ | ℝ \ {x₀} | ∅ | ℝ |
| Решение f(x) ≤ 0 | [x₁; x₂] | (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) | {x₀} | ℝ | ∅ | ℝ |
Задача 1. Решить неравенство x² − 5x + 6 > 0. Нужно найти места, где парабола пересекает ось Ox, а затем выяснить, где она выше этой оси. Трёхчлен удобно разложить на множители: так сразу видны его нули. Поскольку старший коэффициент положителен, знак снаружи корней будет положительным.
Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Задача 2. Решить неравенство −2x² + 3x + 2 ≥ 0. Здесь нельзя переносить правило «положительно вне корней» без проверки: коэффициент при x² отрицательный. Сначала найдём корни по дискриминанту, затем учтём направление ветвей. Так как неравенство нестрогое, точки, где трёхчлен равен нулю, войдут в ответ.
Ответ: [−½; 2].
Задача 3. Решить неравенство 2x² − 4x + 5 ≤ 0. Прежде чем искать промежутки, проверим, пересекает ли парабола ось Ox. Дискриминант окажется отрицательным, а положительный старший коэффициент означает, что вся парабола расположена выше оси. Значит, трёхчлен не может быть ни отрицательным, ни равным нулю.
Ответ: решений нет, ∅.
Первая ошибка — считать, что трёхчлен всегда положителен вне корней. Это верно только при a > 0; при a < 0 ветви направлены вниз и знаки обратные. Ошибку легко допустить, если запомнить правило без связи с графиком. Проверьте знак a и мысленно изобразите направление ветвей.
Вторая ошибка — включать корни в ответ при строгом неравенстве или исключать их при нестрогом. Причина в том, что путают знаки >, < со знаками ≥, ≤. Подставьте корень в трёхчлен: он даёт ноль, поэтому подходит только для нестрогого сравнения с нулём. Затем проверьте скобки в записи промежутков.
Третья ошибка возникает при переносе слагаемых или умножении обеих частей на отрицательное число: знак неравенства оставляют прежним. При переносе слагаемого знак самого слагаемого меняется, но знак неравенства — нет; при умножении или делении на отрицательное меняется именно знак неравенства. Чтобы себя проверить, примените преобразование к простому примеру: из 2 > 1 следует −2 < −1.
Четвёртая ошибка — при D < 0 автоматически писать «решений нет». Дискриминант сообщает, что корней нет, но не говорит, подходит ли знак трёхчлена. Сначала определите знак a: при a > 0 трёхчлен всюду положителен, при a < 0 — всюду отрицателен. Сверьте этот знак с требованием неравенства, включая возможность равенства нулю.
Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений, вычисления дискриминанта, работы с координатной прямой и записи промежутков. График связывает алгебраические вычисления с геометрией: решение показывает, где парабола проходит выше или ниже оси Ox. Этот способ пригодится при решении систем и рациональных неравенств, а также задач с параметрами и при исследовании функций.
Почему для решения квадратного неравенства достаточно найти корни?
Корни — это точки, в которых трёхчлен равен нулю. Между соседними корнями его знак не меняется, поэтому достаточно определить знак на каждом таком промежутке.
Как понять, какие промежутки выбирать после нанесения корней на прямую?
Определите, где трёхчлен положителен или отрицателен: при a > 0 он положителен снаружи корней, а при a < 0 — между ними. Затем выберите промежутки, соответствующие знаку неравенства.
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Трёхчлен имеет один двойной корень и не меняет знак при переходе через него. При a > 0 он положителен всюду, кроме корня, а при a < 0 — отрицателен всюду, кроме корня.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число меняется его знак?
Умножение отрицательных и положительных чисел на отрицательное меняет их порядок на противоположный. Например, из 2 > 1 после умножения на −1 получаем −2 < −1.
Как проверить ответ с помощью графика параболы?
Найдите на графике участки выше оси Ox: там значения функции положительны, а ниже — отрицательны. Точки пересечения с осью соответствуют корням; включайте их в ответ только для нестрогого неравенства.
Квадратные неравенства
