"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами: по коэффициентам можно узнать сумму и произведение корней, а иногда — быстро подобрать сами корни. Для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, произведение — q. Для уравнения с коэффициентом a перед x² формулы нужно скорректировать. Обратная теорема позволяет проверить, что подобранная пара чисел действительно является корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, в котором коэффициент при x² равен 1. Буквы p и q обозначают числа, заданные в уравнении. Такой вид удобен тем, что связь корней с коэффициентами записывается особенно просто.
Теорема Виета связывает корни приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами: сумма корней равна −p, а произведение равно q. Если корни обозначить α и β, то α + β = −p и αβ = q. Эти равенства помогают находить корни подбором и проверять уже найденное решение.
Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, теорема Виета утверждает: сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Это формулы для общего квадратного уравнения, у которого старший коэффициент не обязательно равен единице. Они позволяют применять теорему, не приводя уравнение к виду x² + px + q = 0.
Обратная теорема Виета утверждает: если два числа имеют сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Иными словами, по подходящей паре чисел можно восстановить корни. Для проверки нужно подтвердить оба равенства, а не только одно из них.
Чтобы перейти от ax² + bx + c = 0 к приведённому уравнению, делят обе части на a. Это допустимо только при a ≠ 0: деление на ненулевое число сохраняет равенство, а значит, не меняет набор решений. Получаем x² + (b/a)x + c/a = 0, поэтому здесь p = b/a, а q = c/a. Если исходное уравнение уже имеет вид x² + px + q = 0, этот шаг не нужен.
Формулы Виета можно увидеть, разложив квадратный трёхчлен на множители через его корни α и β: x² + px + q = (x − α)(x − β). При раскрытии скобок справа получается x² − (α + β)x + αβ. Коэффициент при x должен совпасть с p, а свободный член — с q, поэтому −(α + β) = p и αβ = q. Так становится понятно и происхождение минуса в формуле суммы.
Для общего уравнения после деления на a коэффициенты при x и свободный член становятся b/a и c/a. По формулам для приведённого уравнения сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Корни при делении не изменяются, поэтому это те же корни, что и у исходного уравнения. Делить коэффициенты на a нужно именно потому, что формулы для приведённого уравнения предполагают единицу перед x².
Обратное утверждение работает потому, что для двух чисел α и β можно составить произведение (x − α)(x − β). После раскрытия скобок оно равно x² − (α + β)x + αβ. Если сумма чисел равна −p, а произведение — q, получается ровно x² + px + q. Значит, уравнение обращается в ноль при x = α и при x = β, то есть оба числа действительно являются корнями.
Чтобы подобрать целые корни приведённого уравнения, сначала учитывают произведение: корни должны быть делителями q. Если q положительно, числа одного знака; если отрицательно — разных знаков. Затем из подходящих пар оставляют ту, у которой сумма равна −p. Подстановка в уравнение или проверка обоих условий по Виету подтверждает подбор; если подходящей пары нет, целые корни таким способом найти не удаётся.
| Свойство | x² + px + q = 0 | ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 |
|---|---|---|
| Сумма корней | −p | −b/a |
| Произведение корней | q | c/a |
| Как проверить предложенные корни | Их сумма равна −p, произведение равно q | Их сумма равна −b/a, произведение равно c/a |
Сначала определите, приведено ли уравнение: если коэффициент при x² не равен 1, используйте правый столбец или разделите уравнение на этот коэффициент. Затем отдельно проверьте сумму и произведение предполагаемых корней. Таблица даёт условия проверки, но сама по себе не гарантирует, что корни удобно найти подбором.
Задача 1. Решите уравнение x² − 7x + 12 = 0. Коэффициент при x² равен 1, значит, применяем формулы для приведённого уравнения. Здесь p = −7 и q = 12, поэтому нужны два числа с суммой 7 и произведением 12. Среди пар делителей 12 подходит 3 и 4.
Ответ: x = 3 или x = 4. Проверка подстановкой даёт ноль в обоих случаях: 3² − 7 · 3 + 12 = 0 и 4² − 7 · 4 + 12 = 0. Она подтверждает результат, найденный по сумме и произведению.
Задача 2. Решите уравнение 3x² − 2x − 1 = 0. Уравнение не приведённое, поэтому целые делители свободного члена не следует подбирать как корни напрямую. По формулам для общего уравнения сумма корней равна −(−2)/3 = 2/3, а произведение — −1/3. Пара с такими значениями — 1 и −1/3.
Ответ: x = 1 или x = −1/3. Дробный корень здесь закономерен: для общего уравнения корни вовсе не обязаны быть целыми. Подстановка каждого значения в исходное уравнение также даёт равенство нулю.
Задача 3. Корни уравнения x² − 4x + 1 = 0 равны α и β. Найдите α² + β². Искомое выражение можно получить из суммы и произведения, не находя корни по отдельности. Раскроем квадрат суммы: (α + β)² = α² + 2αβ + β². Значит, α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
Ответ: 14. Такой способ особенно полезен, когда требуется выражение от корней, а сами корни находить не нужно. Он заменяет работу с корнями использованием их суммы и произведения.
Часто записывают сумму корней как p или b/a, теряя знак минус. Ошибка появляется, если забыть, что при раскрытии (x − α)(x − β) коэффициент при x равен −(α + β). Для самопроверки подставьте найденную сумму в равенство α + β = −p или α + β = −b/a и сверьте знак с исходными коэффициентами.
В общем уравнении произведение иногда ошибочно принимают равным c. Так бывает, когда формулу для приведённого уравнения переносят на ax² + bx + c без учёта коэффициента a. Проверьте, делили ли вы весь трёхчлен на a: если нет, произведение корней должно быть c/a, а не c.
Формулы Виета нельзя применять к уравнению, в котором слагаемые ещё не приведены к стандартному виду, например не раскрыты скобки или не собраны подобные. Кроме того, делить на старший коэффициент можно лишь при a ≠ 0; если a = 0, уравнение уже не является квадратным. Для проверки сначала приведите выражение к виду ax² + bx + c = 0 и убедитесь, что a не равен нулю.
Ещё одна ошибка — принять пару чисел за корни, проверив только сумму или только произведение. Одинаковая сумма может быть у разных пар, и одного совпадения недостаточно для обратной теоремы Виета. Проверьте оба условия отдельно, а при сомнении подставьте каждое число в уравнение: корень должен обратить левую часть в ноль.
Перед применением теоремы Виета нужно распознавать квадратное уравнение и уметь приводить подобные слагаемые, чтобы записать его в стандартном виде. Полезно знать разложение квадратного трёхчлена на множители: именно оно объясняет связь корней с коэффициентами. Подбор корней опирается на знание делителей целого числа и проверку вычислений. Позже теорема пригодится при решении уравнений, исследовании корней и преобразовании выражений через их сумму и произведение.
Почему в формуле суммы корней появляется знак минус?
Если корни — α и β, то x² + px + q раскладывается на (x − α)(x − β). При раскрытии скобок коэффициент при x равен −(α + β), поэтому сумма корней равна −p.
Нужно ли делить коэффициенты на старший коэффициент перед применением теоремы Виета?
Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, делить его на a необязательно: можно сразу использовать сумму −b/a и произведение c/a. Если делить, получится приведённое уравнение, для которого формулы проще.
Можно ли по теореме Виета решить любое квадратное уравнение устно?
Нет, это удобно, когда корни легко подобрать по сумме и произведению, например если они целые. В остальных случаях используют другие способы решения, например дискриминант, а теорема Виета помогает проверить результат.
Как проверить, что найденные подбором числа действительно являются корнями?
Для приведённого уравнения проверьте, что сумма чисел равна −p, а произведение — q. Для общего уравнения сравните сумму с −b/a и произведение с c/a: должны выполняться оба условия.
Как использовать теорему Виета, если корни уравнения не целые?
Используйте те же формулы: сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Корни могут быть дробными или иррациональными, поэтому подбор целых чисел не всегда подходит; для нахождения значений можно применить формулу корней квадратного уравнения.
§ 26. Теорема Виета
