§ 27. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Определения и обозначения

Квадратный трёхчлен — многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Числа a, b и c — его коэффициенты, причём a называют старшим коэффициентом. По этой записи удобно находить дискриминант и исследовать корни.

Линейный множитель — выражение вида x − r или k(x − r), содержащее переменную в первой степени. Множитель обращается в нуль при x = r. Именно такие выражения появляются при разложении квадратного трёхчлена.

Корень квадратного трёхчлена — значение x, при котором ax² + bx + c обращается в нуль. Чтобы найти корни, решают уравнение ax² + bx + c = 0. Каждый действительный корень задаёт линейный множитель.

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители — представление ax² + bx + c в виде произведения множителей первой степени. Например, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Такая запись позволяет быстрее решать уравнения и неравенства.

Как это устроено

Если x₁ — корень трёхчлена, то при подстановке x₁ значение многочлена равно нулю. Значит, многочлен делится без остатка на x − x₁: это следует из теоремы о делении многочлена на линейный множитель. Поэтому найденный корень сразу подсказывает один из множителей.

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0 с двумя различными действительными корнями x₁ и x₂. По формуле корней x₁ и x₂ являются нулями трёхчлена, поэтому после деления на первый множитель остаётся множитель, связанный со вторым корнем. Так получается формула ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), а коэффициент a сохраняет правильный старший коэффициент.

Если D = 0, оба корня совпадают: x₁ = x₂ = x₀. Два одинаковых линейных множителя нельзя считать разными, поэтому их произведение записывают как квадрат. В результате ax² + bx + c = a(x − x₀)², а корень называют кратным или корнем кратности 2.

При D < 0 квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если бы трёхчлен раскладывался на действительные линейные множители, каждый такой множитель имел бы действительный нуль. Значит, произведение имело бы действительный корень, что противоречит условию D < 0.

Полученное разложение полезно проверить раскрытием скобок. Сначала перемножают линейные скобки, затем умножают результат на a и сравнивают коэффициенты при x², x и свободным членом. Такое сравнение обнаруживает пропущенный коэффициент или ошибку в знаке.

Разложение квадратного трёхчлена в зависимости от дискриминанта

Сначала вычислите дискриминант, затем выберите соответствующую строку таблицы. Она показывает, сколько действительных корней имеет трёхчлен и какую форму примет разложение.

Разбор задач

Задача 1. Разложение при двух корнях

Требуется разложить на линейные множители выражение x² − 5x + 6. Старший коэффициент здесь равен 1, поэтому после нахождения корней множитель a отдельно записывать не придётся.

1. Вычислим дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
2. Так как D > 0, найдём два корня: x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
3. Корню 3 соответствует x − 3, а корню 2 — x − 2. Поэтому получаем x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
4. Проверим: (x − 3)(x − 2) = x² − 5x + 6, то есть исходное выражение восстановлено.

Ответ: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Задача 2. Разложение при нулевом дискриминанте

Рассмотрим выражение 2x² + 4x + 2. Здесь старший коэффициент не равен единице, поэтому его нужно сохранить перед произведением множителей. Ожидаем квадрат одной скобки, если дискриминант окажется нулевым.

1. Находим дискриминант: D = 4² − 4 · 2 · 2 = 16 − 16 = 0.
2. Единственный корень равен x₀ = −4/(2 · 2) = −1.
3. Корню −1 соответствует множитель x − (−1) = x + 1. Поэтому трёхчлен раскладывается так: 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)².
4. Проверка даёт 2(x + 1)² = 2(x² + 2x + 1) = 2x² + 4x + 2.

Ответ: 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)².

Задача 3. Отрицательный дискриминант

Нужно определить, можно ли разложить на действительные линейные множители выражение 3x² − 2x + 5. Для ответа достаточно выяснить, есть ли у соответствующего квадратного уравнения действительные корни. Отрицательный дискриминант означает, что действительных линейных множителей не будет.

1. Вычислим дискриминант: D = (−2)² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56.
2. Получили D < 0, значит, уравнение 3x² − 2x + 5 = 0 действительных корней не имеет.
3. Без действительных корней нельзя составить множители вида x − r с действительным r. Следовательно, требуемого разложения над действительными числами не существует.

Ответ: разложить на действительные линейные множители нельзя.

Типичные ошибки

Забывают вынести старший коэффициент a и пишут (x − x₁)(x − x₂). Так получится правильный ответ только при a = 1, а в остальных случаях исчезнет нужный коэффициент при x². Проверьте старший член после раскрытия скобок.

Путают знак в множителе: корню x₁ соответствует x − x₁, а не x + x₁. Например, для корня −4 нужно записать x + 4, потому что x − (−4) = x + 4. Быстрая проверка — подставить сам корень в выбранную скобку: она должна обратиться в нуль.

При D = 0 записывают два разных множителя, хотя корень уравнения один. Правильная запись содержит квадрат одной и той же скобки: a(x − x₀)². Сверьте оба найденных корня: если они совпадают, множители также совпадают.

Пытаются разложить трёхчлен при D < 0 на действительные линейные множители. Ошибка возникает из-за механического применения формулы без проверки дискриминанта. Сначала установите знак D: при отрицательном значении действительных корней и таких множителей нет.

Связь с другими темами

Для разложения нужно уметь решать квадратные уравнения, находить дискриминант и корни, а также раскрывать скобки. Полученное произведение используется при решении квадратных неравенств методом интервалов. Оно помогает сокращать алгебраические дроби и находить нули и знаки квадратной функции.

Что запомнить

• Если корни квадратного трёхчлена известны, его можно записать через линейные множители.
• При D > 0: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
• При D = 0: ax² + bx + c = a(x − x₀)².
• При D < 0 действительного разложения на линейные множители нет.
• Знак в множителе противоположен знаку соответствующего корня.
• Правильность разложения проверяют раскрытием скобок.