2.7 Свойства квадратных корней

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его обозначают √a, а само число a называют подкоренным выражением. Такой корень определён только при a ≥ 0, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Корень произведения — правило для неотрицательных чисел: √(ab) = √a · √b. Оно позволяет заменить один корень произведения двумя корнями и часто помогает выполнить вычисления проще. Например, если под корнем есть полный квадрат, его можно вычислить отдельно.

Корень частного — правило √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0 и b > 0. Условие b > 0 включает сразу два требования: знаменатель не равен нулю, а дробь под корнем неотрицательна. Это свойство используют для упрощения дробных выражений с корнями.

Как это устроено

Чтобы понять свойство корня произведения, рассмотрим число √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Оно неотрицательно, а его квадрат равен (√a · √b)² = a · b. Значит, это число удовлетворяет двум условиям определения арифметического корня: оно неотрицательно и при возведении в квадрат даёт ab. Поэтому √(ab) = √a · √b.

Запись √(ab) = √a · √b получается именно из этого рассуждения. Условия a ≥ 0 и b ≥ 0 обязательны, поскольку отдельно должны существовать оба корня √a и √b. Например, при отрицательном множителе арифметический корень из него в действительных числах не определён, поэтому применять формулу нельзя.

Для корня частного рассмотрим число √a / √b при a ≥ 0 и b > 0. Его квадрат равен (√a / √b)² = a/b, а само частное неотрицательно, потому что числитель и знаменатель неотрицательны, причём знаменатель положителен. Следовательно, это число является арифметическим квадратным корнем из a/b, и получается формула √(a/b) = √a / √b.

Свойства можно применять и в обратном направлении. Произведение √a · √b объединяют как √(ab), а частное √a / √b — как √(a/b), но сначала проверяют, что подкоренные выражения допустимы и знаменатель не равен нулю. Связь с квадратом особенно важна: √(a²) = |a|, потому что при a < 0 число a отрицательно, а арифметический корень таким быть не может. Поэтому при вынесении множителя из-под корня знак переменной нужно учитывать через модуль.

Свойства арифметического квадратного корня

Сначала найдите нужную строку и проверьте условия справа. При преобразовании слева направо корень раскрывается, а при обратном преобразовании несколько корней объединяются. Отдельно следите за модулем в формуле для квадрата числа.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите √(9 · 16), используя свойство корня произведения

Подкоренное выражение является произведением двух неотрицательных чисел, поэтому свойство применимо. Разделим корень произведения на корни множителей. После этого останется вычислить обычные арифметические корни.

1. Проверяем условия: 9 ≥ 0 и 16 ≥ 0.
2. Применяем свойство: √(9 · 16) = √9 · √16.
3. Вычисляем: √9 · √16 = 3 · 4 = 12.

Ответ: 12. Проверка: 12² = 144, а 9 · 16 = 144, поэтому результат верен.

Задача 2. Упростите √72 и вынесите из-под знака корня квадратный множитель

Ищем в числе 72 полный квадрат, то есть число, корень из которого извлекается нацело. Представим 72 как 36 · 2, где 36 — полный квадрат. Затем применим свойство корня произведения.

1. Разлагаем число: 72 = 36 · 2.
2. Разделяем корень: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
3. Вычисляем корень полного квадрата: √36 · √2 = 6√2.

Ответ: √72 = 6√2. Число 6 вынесено из-под корня, а множитель 2 остался под знаком корня, поскольку его нельзя извлечь нацело.

Задача 3. Упростите √(x²) + √(x²y²) при произвольных действительных x и y

Переменные могут быть отрицательными, поэтому сразу заменять √(x²) на x нельзя. Для второго слагаемого используем произведение квадратов и затем формулу корня квадрата. Так сохраняются правильные знаки при любых x и y.

1. √(x²) = |x|.
2. √(x²y²) = √(x² · y²) = √(x²) · √(y²) = |x| · |y|.
3. Складываем результаты: |x| + |x| · |y| = |x|(1 + |y|).

Ответ: |x|(1 + |y|). Модули нельзя убрать без дополнительных условий, например x ≥ 0 и y ≥ 0.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применение свойства произведения, если один множитель отрицателен. Её допускают, потому что внешне формула похожа на обычное правило действий. Проверьте каждый множитель: для арифметических корней оба должны быть неотрицательными.

Вторая ошибка — использование формулы корня частного при нулевом знаменателе. Деление на ноль не имеет смысла, поэтому выражение с таким знаменателем не определено. Перед преобразованием убедитесь, что знаменатель положителен.

Третья ошибка — запись √(a²) = a для любого a. Если a отрицательно, правая часть отрицательна, а арифметический корень всегда неотрицателен. Правильная запись — √(a²) = |a|, а убрать модуль можно только при известном знаке a.

Четвёртая ошибка — сложение корней под одним знаком: √a + √b = √(a + b). Такого свойства нет, потому что правила произведения и частного не переносятся на сложение. Проверить себя можно на примере: √1 + √1 = 2, а √2 не равно 2.

Связь с другими темами

До изучения свойств нужно знать определение арифметического квадратного корня и условие его существования. Также пригодятся правила действий с дробями и степенями, особенно умножение, деление и запись квадрата числа.

Эти свойства используются при упрощении выражений с корнями и вынесении множителей из-под знака корня. Позже они помогают преобразовывать выражения перед решением уравнений и проверять допустимость полученных преобразований.

Что запомнить

• Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
• √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0.
• √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0 и b > 0.
• √(a²) = |a| для любого действительного a.
• Перед применением свойства проверьте допустимость всех корней и знаменателей.
• Корни можно объединять под один знак только с учётом условий на подкоренные выражения.