2.6 График зависимости у = x^(1/2)

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9. Такой корень существует только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Функция y = √x — зависимость, при которой каждому допустимому значению x соответствует единственное неотрицательное значение y. Например, числу 4 соответствует y = 2. Это позволяет вычислять значения функции и наносить их как точки на координатную плоскость.

Область определения функции — множество всех значений x, при которых формула имеет смысл. Для y = √x это все числа x, для которых x ≥ 0. Знание области определения подсказывает, какие точки можно изображать на графике.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где y = √x. Каждая такая точка показывает соответствие между выбранным x и полученным y. По графику можно видеть изменение функции и решать некоторые уравнения и неравенства.

Как это устроено

Подкоренное выражение в формуле y = √x равно x. В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому отрицательное число не может быть квадратом действительного числа. Значит, при x < 0 корень не имеет действительного значения, а область определения задаётся условием x ≥ 0.

Значение y не бывает отрицательным, потому что арифметический корень выбирают именно как неотрицательное число. Например, уравнение t² = 9 имеет два корня, −3 и 3, но √9 обозначает только 3. Поэтому весь график y = √x не может опуститься ниже оси x.

Для построения графика удобно брать такие x, корень из которых находится без вычислений. Получается таблица: при x = 0, 1, 4, 9 значения y равны соответственно 0, 1, 2, 3. Точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) наносят на координатную плоскость, а затем соединяют плавной линией, потому что функция изменяется непрерывно.

График начинается в точке (0; 0), так как наименьшее допустимое x равно 0 и √0 = 0. При увеличении x его квадратный корень тоже увеличивается: например, 1 < 4 < 9, значит, 1 < 2 < 3. Поэтому линия идёт вправо и вверх, то есть функция возрастает на всей области определения.

Связь с параболой объясняется обратностью зависимостей. Если x ≥ 0, то из y = x² можно получить x = √y, а из y = √x — y² = x. Взаимно обратные функции имеют графики, симметричные относительно прямой y = x, поэтому график y = √x связан с правой частью параболы y = x² таким отражением.

Основные свойства функции y = √x

В таблице собраны свойства, которые нужно проверять при построении и исследовании графика. Строка про область определения показывает допустимые значения аргумента x, а множество значений — возможные значения y. Остальные строки помогают быстро определить положение, направление и пересечения графика.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Постройте по точкам график функции y = √x и отметьте на нём точки, соответствующие x = 0, 1, 4 и 9.

Решение:

1. Проверяем допустимость выбранных значений: все числа 0, 1, 4 и 9 неотрицательны.
2. Вычисляем значения функции: √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3.
3. Получаем точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) и наносим их на координатную плоскость.
4. Соединяем точки плавной возрастающей линией, не продолжая её в область x < 0.

Ответ: график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) и имеет вид плавной возрастающей линии.

Задача 2

Условие: Найдите координаты точек пересечения графика y = √x с прямыми y = 2 и x = 4.

Решение:

1. Для пересечения с прямой y = 2 подставляем это значение в формулу: 2 = √x.
2. Возводим обе части в квадрат: x = 4. Получаем точку (4; 2).
3. Для пересечения с прямой x = 4 подставляем x в формулу: y = √4 = 2.
4. Координаты снова равны (4; 2), потому что прямые y = 2 и x = 4 пересекаются на графике в одной точке.

Ответ: точка пересечения в обоих случаях — (4; 2).

Задача 3

Условие: Решите графически неравенство √x ≥ 2 и укажите область допустимых значений.

Решение:

1. Сначала записываем область допустимых значений функции: x ≥ 0.
2. На графике проводим горизонтальную линию y = 2 и находим её пересечение с графиком в точке (4; 2).
3. Правее этой точки график расположен не ниже линии y = 2, поэтому подходят значения x от 4 и больше.
4. Учитываем точку x = 4, так как в неравенстве стоит знак ≥, а не >.

Ответ: ОДЗ: x ≥ 0; решение неравенства: x ≥ 4.

Типичные ошибки

Иногда область определения записывают как x ≤ 0. Так путают условие для корня с неверной мыслью, будто под корнем должны быть отрицательные числа. Проверка проста: подставьте, например, x = 4 и x = −4; √4 существует, а √(−4) в действительных числах нет.

Другую ошибку допускают, рисуя график и слева от оси y. Причина — привычка продолжать линию в обе стороны, как у прямой или полной параболы. Проверьте каждую левую точку: при x < 0 формула √x не даёт действительного y, поэтому там графика быть не может.

Неверная запись √(x²) = x возникает из-за забывания о знаке корня. Арифметический корень неотрицателен, поэтому правильная формула: √(x²) = |x|. Для самопроверки возьмите x = −3: левая часть равна 3, а правая — −3.

График иногда соединяют расчётные точки отрезками или изображают полной параболой. Отрезки дают неточную форму, а полная парабола содержит недопустимые значения x и отрицательные y. Нужно нанести точки, учесть область определения и провести через них плавную возрастающую линию.

Связь с другими темами

До изучения функции нужны определение арифметического квадратного корня, свойства степеней и умение читать координаты точки. Эти знания позволяют находить значения y и проверять, принадлежит ли точка графику.

График y = √x пригодится при решении уравнений и неравенств с квадратными корнями. По нему можно сравнивать значения, находить пересечения и понимать, почему область допустимых значений ограничена.

Тема связана с обратными функциями и преобразованиями графиков. Симметрия графиков y = x² и y = √x относительно прямой y = x показывает, как алгебраическая обратность проявляется на координатной плоскости.

Что запомнить

• Функция y = √x определена только при x ≥ 0.
• Все значения функции y = √x неотрицательны.
• График начинается в точке (0; 0) и расположен в первой координатной четверти.
• График проходит через точки (1; 1), (4; 2) и (9; 3).
• Функция y = √x возрастает на всей области определения.
• График y = √x является частью параболы, отражённой относительно прямой y = x.
• Для построения графика достаточно вычислить несколько значений, нанести точки и провести плавную линию.