"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Квадратный корень помогает найти число, которое при возведении в квадрат даёт заданное значение. Знак √ обозначает арифметический корень — только неотрицательное число, поэтому √25 = 5. Но уравнение x² = 25 имеет два решения: 5 и −5. Различие между корнем и решением уравнения, условие a ≥ 0 и правило √(a²) = |a| — главные идеи темы. С ними проще преобразовывать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a; если a > 0, таких чисел два, и они противоположны друг другу. Например, квадратными корнями из 9 служат 3 и −3. Это понятие помогает перейти от известного квадрата к числам, которые его дали.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Например, √9 = 3, а не −3. Такое обозначение выбирает одно значение из двух возможных квадратных корней и делает запись однозначной.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком √. Для арифметического квадратного корня его значение должно быть неотрицательным, иначе корень не определён в действительных числах. Это условие помогает заранее понять, допустимо ли преобразование или вычисление.
Уравнение x² = a при a > 0 имеет два корня: √a и −√a; при a = 0 оно имеет один корень, а при a < 0 действительных корней нет. Например, x² = 16 решается как x = 4 или x = −4. Это определение нужно, чтобы не путать запись √a с полным ответом уравнения.
Возведение в квадрат превращает число в его квадрат, а извлечение арифметического корня выполняет обратное действие: по квадрату находит неотрицательное число. Например, 6² = 36, поэтому √36 = 6. Отрицательное число тоже может дать 36 при возведении в квадрат, но знак √ выбирает именно положительное значение. Поэтому арифметический корень удобен для однозначного вычисления.
Из-за этого выбора запись √a и уравнение x² = a означают не одно и то же. Знак корня даёт только неотрицательный результат, а уравнение требует найти все числа, квадраты которых равны a. При положительном a подходят два противоположных числа, поэтому записывают x = ±√a. Символ ± напоминает, что нужно взять и значение со знаком плюс, и значение со знаком минус.
Подкоренное число не может быть отрицательным: произведение действительного числа на себя всегда неотрицательно. Значит, квадрат не способен дать отрицательный результат, и для a < 0 уравнение x² = a не имеет действительных решений. По той же причине арифметический корень √a в действительных числах определён лишь при a ≥ 0. Проверка знака подкоренного выражения помогает не выполнять невозможное действие.
Для любого действительного a верно √(a²) = |a|, где |a| — модуль числа, то есть его расстояние от нуля. Корень должен быть неотрицательным, поэтому при a ≥ 0 результатом будет a, а при a < 0 — число, противоположное a. Например, √((-5)²) = √25 = 5, а не −5. Модуль в формуле учитывает оба случая и не позволяет ошибиться со знаком.
Если a и b неотрицательны, корень из их произведения можно заменить произведением корней: √(ab) = √a · √b. Причина в том, что квадрат произведения √a · √b равен ab, а само произведение неотрицательно, то есть подходит под определение арифметического корня. Это свойство позволяет разбить подкоренное выражение на удобные множители. После преобразования результат можно проверить возведением в квадрат.
| Случай | Арифметический корень √a | Корни уравнения x² = a |
|---|---|---|
| a > 0 | Определён, положителен | √a и −√a |
| a = 0 | √0 = 0 | Один корень: x = 0 |
| a < 0 | В действительных числах не определён | Действительных корней нет |
| Знак значения √a | Неотрицательный, если корень определён | Не относится к знаку одного значения √a: уравнение может иметь два корня |
Сначала определи, к какому случаю относится a, а затем смотри на нужный столбец. Если требуется вычислить √a, записывай только неотрицательное значение; если нужно решить уравнение при a > 0, учитывай оба знака. При a < 0 действительных значений корня и решений уравнения нет.
Задача: найдите √81 и решите уравнение x² = 81. Сначала разделим две части условия: знак √ просит арифметический корень, а уравнение — все числа, квадрат которых равен 81. Поскольку 9² = 81, число 9 подходит. Число −9 тоже подходит к уравнению, потому что (−9)² = 81.
Ответ: √81 = 9; корни уравнения — 9 и −9. Проверка показывает, что квадраты обоих корней равны 81. Отрицательное значение не добавляют к самой записи √81, но учитывают при решении уравнения.
Задача: упростите √(7²) и решите уравнение x² = 7². Здесь полезно сначала заметить, что 7 положительно, а квадрат 7² равен 49. При упрощении корня применим правило √(a²) = |a|, а не будем просто убирать квадрат. Для уравнения найдём оба числа, квадрат которых равен 49.
Ответ: √(7²) = 7; корни уравнения — 7 и −7. Проверка: оба числа при возведении в квадрат дают 49. Модуль в формуле корня особенно важен, когда вместо 7 в выражении стоит отрицательное число.
Задача: упростите √(12 · 27), используя свойства корня, и проверьте ответ возведением в квадрат. Произведение 12 и 27 удобно разложить на множители так, чтобы получить полный квадрат. Под полным квадратом здесь понимается число вида n². Затем можно извлечь корень из такого множителя, а оставшиеся множители перемножить.
Ответ: 18. Проверка совпала с исходным подкоренным числом, значит, вычисление верно. При разложении важно сохранять равенство: изменять группировку множителей можно, но их произведение должно остаться прежним.
Ошибка: считать, что √a обозначает два числа. Так происходит, потому что при решении уравнения x² = a действительно появляются два противоположных корня. Но знак √ задаёт только арифметическое, неотрицательное значение. Проверь себя: √25 должно быть одним числом 5, а два числа записываются для уравнения x² = 25.
Ошибка: записывать √(a²) = a без условия a ≥ 0. Это верно только для неотрицательного a; при отрицательном a корень остаётся неотрицательным, а a — отрицательно. Правильная запись для любого действительного a — √(a²) = |a|. Проверь формулу на a = −3: результат равен 3, а не −3.
Ошибка: при a > 0 решать x² = a только как x = √a. Часто так делают, перенося в ответ значение арифметического корня и забывая, что квадрат противоположного числа такой же. Запиши x = ±√a, затем проверь оба значения возведением в квадрат. Например, для x² = 16 подходят и 4, и −4.
Ошибка: извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах. Иногда её допускают, если пытаются применить знакомое правило, не проверив подкоренное выражение. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому √(−9) не определён в действительных числах. Перед вычислением сначала проверь знак выражения под корнем.
Для работы с корнями нужны квадраты целых чисел, свойства возведения в квадрат и понятие противоположных чисел. Знание квадратов помогает быстро находить корни, а противоположные числа объясняют, почему уравнение x² = a при положительном a имеет два решения. Эти сведения связывают новую запись с уже знакомыми вычислениями.
Арифметический корень используется при преобразовании выражений и решении квадратных уравнений. Позже он понадобится при изучении функции y = √x: её область определения связана с условием x ≥ 0. Поэтому понимание знака корня и допустимых подкоренных выражений важно и для вычислений, и для дальнейших тем.
Почему у √25 только одно значение, а у уравнения x² = 25 — два корня?
Знак √ обозначает арифметический корень, то есть только неотрицательное число: √25 = 5. А уравнение x² = 25 спрашивает, какие числа при возведении в квадрат дадут 25. Подходят и 5, и −5.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому √a определён только при a ≥ 0.
Почему √(a²) равно модулю a, а не просто a?
Арифметический корень по определению неотрицателен. Если a отрицательно, то число a² положительно, а его арифметический корень равен противоположному числу, то есть |a|.
Как проверить, правильно ли найден квадратный корень?
Возведи полученный корень в квадрат и сравни результат с подкоренным числом. Также проверь, что значение арифметического корня неотрицательно.
Когда можно представить корень из произведения как произведение корней?
Если оба множителя неотрицательны, то есть a ≥ 0 и b ≥ 0, верно равенство √(ab) = √a · √b. Условия нужны, чтобы оба корня были определены в действительных числах.
2.5 Квадратный корень: алгебраический подход
